Неевклидовы геометрии и первый постулат Евклида

[StepV]

Уважаемые форумчане! При чтении литературы по неевклидовой геометрии тип геометрии всегда определяется
пятым постулатом о параллельности прямых. У меня возник вопрос, почему для этого не пользуются
первым постулатом. На мой взгляд он дает возможность задать более мощные системы неевклидовой геометрии.
Может быть уже доказано, что изменение первого постулата приведет к противоречию в создании системы аксиом такой
геометрии? Или по другим причинам?
Если же были такие попытки, может кто-то может подсказать литературу? Я в интернете ничего похожего не нашел.
Вот простой пример для варианта первого постулата некоей неевклидовой геометрии.
Аксиома 1 Между двумя точками плоскости можно провести бесконечное множество прямых.
Аксиома 2 Если три точки лежат на одной прямой, то это единственная прямая, которую можно провести через эти точки
Такой набор аксиом может соответствовать плоскости, в которой прямой будет соответствовать параболическая траектория точки.

Конечно, не гарантирую, что этот пример приводит к некоей согласованной системе аксиом неевклидовой геометрии.
Пример приведен в контексте требований форума, как пример возможного варианта формулировки первого постулата.
Мне кажется, что он демонстрирует возможности этого постулата для задания различных геометрий пространства.

[StepV]

Уважаемые форумчане! Я нашел еще одну красивую формулировку для первого постулата Евклида.
Вариант 2.
Аксиома 1. Между любыми двумя точками плоскости можно провести две прямые.
Аксиома 2. Если прямая проходит через точки $A$, $B$ и $|AB|=L$, то, если на этой прямой взять точки $C$ и $D$ такие, что $|CD|=L$, то данная прямая является одной из двух прямых, которые соединяют точки $C$ и $D$.
Аксиома 3. Если на отрезке прямой между точками $A$ и $B$ взять две точки $C$ и $D$, то через них можно провести две прямые при чем, ни одна из них не будет совпадать с прямой $AB$, на которой эти точки лежат.
Аксиома 4. Если мы определим на двух прямых, соединяющих точки $A$,$B$ по точке, находящейся на равном расстоянии от $A$ или $B$, то расстояние между этими точками всегда будет меньше некоторого числа $\varepsilon$.

Эта группа аксиом совпадает с первым постулатом, если $\varepsilon=0$. В аксиомах число 2 можно заменить и на 3, 4 ...
Подумав над этой схемой, я пришел к выводу, что, по-видимому, можно найти такую непротиворечивую комбинацию аксиом неевклидовой геометрии с измененным первым постулатом, что пятый окажется стандартным, т.е. через точку над прямой можно провести одну параллельную прямую. При этом плоскость останется неевклидовой! Тема мне кажется очень интересной!

Подскажите, пожалуйста, в каком направлении мне лучше идти, какие книги помогут сформулировать и проверить эту задачу на более серьезном математическом уровне.

[Mikhail_K]

StepV в сообщении #1564738 писал(а):

При чтении литературы по неевклидовой геометрии тип геометрии всегда определяется
пятым постулатом о параллельности прямых. У меня возник вопрос, почему для этого не пользуются
первым постулатом.

StepV в сообщении #1564738 писал(а):

Такой набор аксиом может соответствовать плоскости, в которой прямой будет соответствовать параболическая траектория точки.

Видимо, в этом и причина: описанная Вами геометрия не кажется чем-то необычным и интересным, а кажется обычной плоской геометрией, в которой зачем-то назвали "прямыми" какое-то семейство кривых линий. Причём даже непонятно, какое именно; поэтому есть предположение, что построить богатую теорию на такой аксиоматике будет затруднительно.

Когда в XIX веке создавались неевклидовы геометрии, пятый постулат считался самым неочевидным из постулатов Евклида, что и навело на мысль заменить его противоположным утверждением и посмотреть, что получится.

А сейчас, в XXI веке, постулаты Евклида вообще мало кого интересуют. Современная геометрия (как евклидова, так и неевклидова) использует в качестве фундамента не их, а конструкции линейного пространства, евклидова пространства, риманова пространства. Поэтому вполне может быть, что никто и не пробовал хулиганить с первым постулатом.

Кстати, если Вам интересна эта тема, в любом случае забывайте про слова "первый постулат", "пятый постулат". Используйте хотя бы аксиомы Гильберта (современную версию постулатов Евклида) - их там заметно больше пяти.

StepV в сообщении #1564810 писал(а):

Аксиома 1. Между любыми двумя точками плоскости можно провести две прямые.
Аксиома 2. Если прямая проходит через точки $A$, $B$ и $|AB|=L$, то, если на этой прямой взять точки $C$ и $D$ такие, что $|CD|=L$, то данная прямая является одной из двух прямых, которые соединяют точки $C$ и $D$.
Аксиома 3. Если на отрезке прямой между точками $A$ и $B$ взять две точки $C$ и $D$, то через них можно провести две прямые при чем, ни одна из них не будет совпадать с прямой $AB$, на которой эти точки лежат.

Это выглядит странно.
Надо ли понимать аксиому 1 так, что через любые две несовпадающие точки проходят ровно две прямые? Тогда аксиома 2 является просто следствием аксиомы 1, а вот аксиома 3 противоречит аксиоме 1: там получается, что через точки $C$ и $D$ проходят три разные прямые (включая $AB$).

[Gagarin1968]

Mikhail_K в сообщении #1564822 писал(а):

Надо ли понимать аксиому 1 так, что через любые две несовпадающие точки проходят ровно две прямые?

Mikhail_K
Разумеется нет. Очевидно ТС имел в виду, что через любые две несовпадающие точки проходят по меньшей мере две прямые. Тогда нет ни избыточных, ни противоречивых аксиом.

[StepV]

Mikhail_K в сообщении #1564822 писал(а):

зачем-то назвали "прямыми" какое-то семейство кривых линий.

Да, в неевклидовых геометриях термин "прямая" заменяют на "геодезическая". Но я, пока, не уверен в возможности пользоваться этим термином. В соответствии с аксиомами из предыдущего поста через две точки могут проходить линии меньшей длины, чем прямые, но которые не могут определять расстояние между этими точками в соответствии с аксиомами.

Mikhail_K в сообщении #1564822 писал(а):

аксиома 3 противоречит аксиоме 1: там получается, что через точки $C$ и $D$ проходят три разные прямые (включая $AB$).

Противоречия, как бы, нет. Но ваш вопрос для той модели плоскости, которую я придумал, остается. Модель взята очень простая. Принимаем следующее правило: если на плоскости взять две точки, то "геодезическими"-"прямыми" между ними будут две половинки окружности, у которой диаметр опирается на эти точки. Из этого правила выведены четыре аксиомы. Тогда возникает ваш вопрос, если взять две точки на окружности, которые меньше ее диаметра, то для определения расстояния нужно использовать построение окружности меньшего диаметра. Т.е длина дуги, на которой взяты эти две точки, не может определять расстояние между этими точками.
По-видимому, не хватает еще одной аксиомы?

[StepV]

Mikhail_K в сообщении #1564822 писал(а):

Современная геометрия (как евклидова, так и неевклидова) использует в качестве фундамента не их, а конструкции линейного пространства, евклидова пространства, риманова пространства.

Поднятая мной тема, меня сильно заинтересовала. Хочется сформулировать задачу в современных терминах. Как я понимаю, мне необходимо для этого осилить какую-то литературу по римановой геометрии.
Нашел несколько книг. Книги потребуют, как я понимаю, от меня пары лет изучения, т.к. тензорный аппарат сложный, а университетские воспоминания о тензорном анализе уже довольно смутные.
Нашел
Дубровин ..."Современная геометрия"
Новиков, Тайманов ..."Современные геометрические структуры и поля"
Рашевский... "Риманова геометрия и тензорный анализ".

Уважаемые коллеги! Подскажите, пожалуйста, какую из этих книг лучше выбрать? Или может существует другой набор книг, который поможет мне понять тему на современном уровне?

[Mikhail_K]

StepV
Мне показались хорошими и интересными следующие книги:
Розенфельд. Многомерные пространства
Розенфельд. Неевклидовы пространства

[vpb]

StepV в сообщении #1564738 писал(а):

У меня возник вопрос, почему для этого не пользуются
первым постулатом. На мой взгляд он дает возможность задать более мощные системы неевклидовой геометрии.

Дык, тут дело в мотиве. Математики не ставили перед собой цели как-то извратить пятый постулат от нечего делать, а потом из него что-то выводить, построить новую геометрию. Они отнюдь не гонялись за экзотикой. Наоборот, его хотели доказать, и этим укрепить основы геометрии. А остальные аксиомы-постулаты никаких таких мыслей не вызывали, а нельзя ли их из остальных вывести. (Кстати говоря, в исходной системе Евклида была, кажется, лишняя аксиома, а именно, что все прямые углы равны между собой (а прямой угол определялся как тот, который вместе с равным ему дает развернутый ... точно не помню). Но то, что она лишняя и выводима из остальных, довольно быстро обнаружили, еще в древности.)

Не было цели "а давайте чисто по приколу как-нибудь переделаем пятый постулат, авось что забавное выйдет !". Совсем противоположное; где-то 23 столетия (кажется, с параллельными стали пытаться разобраться еще за сто лет до Евклида !), математиков терзало чувство неудовлетворенности, какой-то неполноты, когда казалось, что его таки можно вывести из остальных. Поэтому, естественно, отменять первый постулат ни у кого руки и не чесались.

[StepV]

Mikhail_K в сообщении #1594738 писал(а):

Мне показались хорошими и интересными следующие книги:

Спасибо за совет. Обе книги нашел и скачал.

-- 22.05.2023, 22:11 --

vpb в сообщении #1594853 писал(а):

Дык, тут дело в мотиве. Математики не ставили перед собой цели как-то извратить пятый постулат от нечего делать

Спасибо, что отозвались на мою просьбу высказать мнение по данной теме. По вашему ответу я понял, что известных работ по этой теме нет, т.к. не было теоретической необходимости. Постулат непоколебимо встроен в современную геометрию.
Я понимаю, что многие вопросы математики не приложимы к практике, но они существуют, и математикам интересно их развивать. Это одна из таких задач, которая меня заинтересовала. Мне хочется понять, может получиться какая-то непротиворечивая теория геометрии с измененныи первым постулатом. Вот такой у меня мотив

[vpb]

StepV в сообщении #1594880 писал(а):

в современную геометрию.

"Современная геометрия" вообще --- огромная область, в которой я никоим образом не специалист. (Я всего лишь, по моим наблюдениям, разбираюсь в основаниях геометрии лучше других участников форума, и не более того. ).

Насчет того что "непоколебимо встроен". Скажем так: геометрические системы, в которых нет утверждения, аналогичного первому постулату, имеются, но от классической геометрии они далеки. А вот геометрия Лобачевского, напротив, к классической геометрии крайне близка. (физики бы, наверное, сказали, что геометрия Лобачевского --- это "суперпартнер" евклидовой, потому что абсолютная геометрия, т.е. геометрия без пятого постулата, имеет всего две модели, с точностью до изоморфизма: одна --- это Евклида, а вторая --- Лобачевского).

StepV в сообщении #1594880 писал(а):

Мне хочется понять, может получиться какая-то непротиворечивая теория геометрии с измененныи первым постулатом. Вот такой у меня мотив

Понятно, да. Но, заметьте, чтобы это понять, чрезвычайно полезно, я даже скажу необходимо, сначала полностью понять классическую теорию.
То есть: сформулировать, очень аккуратно, аксиомы евклидовой геометрии, а затем доказать, самому для себя во всех подробностях, что эта теория категорична, т.е. имеет ровно одну модель. (А лучше еще доказать и расширенное утверждение, т.е. что абсолютная геометрия имеет всего две модели. ) И только тогда, когда вы это сделаете, вы увидите, как (если вообще такое возможно !) организовать процесс вынимания из теории первого постулата. Не ранее того.

Какие книжки для этого я бы рекомендовал (в меру моего собственного разумения, конечно), это еще немного подумать надо.

[vpb]

Значит, книжки.
Начнем со школьных учебников.

Киселев, Геометрия.
Атанасян, Поздняк, Геометрия 6--8 (пробный учебник), 1981 г.
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Поздняк, Юдина, Геометрия 7--9 (популярный школьный учебник).
(последние две книжки существенно отличаются !)
Погорелов, Элементарная геометрия. Планиметрия (1969 г. Не путать с существующим школьным учебником !).
Расин, В.В., Лекции по геометрии
Теперь дальше.

Ефимов, Высшая геометрия.
Атанасян, Базылев, Геометрия (учебник для пединститутов), том 2, главы 9, 10.
Погорелов, Основания геометрии.
Гильберт, Основания геометрии (куда же без нее ?).
Донеддю, Евклидова планиметрия. (Весьма !)

Атанасян, Геометрия Лобачевского.
Атанасян, Покровский, Ушаков, том 2, часть 2.

Перепелкин, Курс элементарной геометрии.

и пожалуй еще
Адамар, Элементарная геометрия.

Два предупреждения.
1) Не следует думать, что я все эти книги прочитал. Но некоторые из них я читал основательно, и во всяком случае во все заглядывал. Не следует также думать, что их надо пытаться читать именно в указанном порядке.

2) Системы аксиом, принятые в этих книгах, (явно или неявно), вообще говоря, различны.

Как-то так.

[StepV]

vpb в сообщении #1594901 писал(а):

сформулировать, очень аккуратно, аксиомы евклидовой геометрии, а затем доказать, самому для себя во всех подробностях, что эта теория категорична, т.е. имеет ровно одну модель.

Спасибо за советы и за список книг.

[vpb]

StepV в сообщении #1594916 писал(а):

Спасибо за советы и за список книг

Пожалуйста. На всякий случай поясню еще, а то вдруг вас смутят слова "модель" и "категоричная теория", полезете в математическую логику, а вам это не нужно.
Говоря проще, вам предлагается самому для себя изложить всю геометрию, начиная с самых аксиом и во всех подробностях, самых мелких, так, чтобы в итоге доказать теорему Пифагора и даже чуть дальше. (Не здесь, конечно, а у себя, потому что при аккуратном изложении это порядка ста страниц текста). Причем при этом надо никак не опираться на какую-либо наглядность, а исключительно использовать рассуждения на теоретико-множественном языке.

[vego]

По аксиоматике Гильберта мне очень помогла и понравилась книга Успенского "Что такое аксиоматический метод?"

[StepV]

vpb в сообщении #1595091 писал(а):

вам предлагается самому для себя изложить всю геометрию, начиная с самых аксиом и во всех подробностях, самых мелких, так, чтобы в итоге доказать теорему Пифагора и даже чуть дальше.

Еще раз спасибо за советы. Сейчас я почти обошел 12 проблему Гильберта . На пути обхода сделал интересную находку . Думаю, что результаты оформлю в течении ближайшей пары месяцев. И тогда за перый постулат Евклида, как вы и советовали.

vego в сообщении #1595119 писал(а):

понравилась книга Успенского "Что такое аксиоматический метод?"

Спасибо. Обязательно посмотрю.