Простые числа, степени и делимости

[B@R5uk]

Пусть p и q — два нечётных простых числа, причём:

$$p-1\;\vdots\;q$$

Тогда существует $q-1$ различных целых чисел k, таких что

$$k^q-1\;\vdots\;p,\quad 2\le k<p$$

Подскажите, пожалуйста, как доказать это алгебраическими методами? Утверждение невероятно естественным образом возникает при решении одной прикладной задачи теории групп, но как оно связано с теорией чисел я ума не приложу. Чем-то похоже на малую теорему Ферма, с той лишь разницей, что МТФ растёт из фундаментальной теоремы теории групп, а не из частной прикладной задачи.

[nnosipov]

B@R5uk
Это почти не теория чисел, это про циклические группы. Собственно, предварительно нужен только такой факт: мультипликативная группа конечного поля является циклической. А дальше решайте себе уравнения вида $x^k=1$ в любой циклической группе порядка $n$, это легко. Кстати, то, что $q$ --- именно простой делитель числа $p-1$, не важно (а вот то, что $p$ --- простое число, важно).

[B@R5uk]

nnosipov, другими словами, вы предлагаете сформулировать утверждение так:

Цитата:

В поле вычетов по модулю простого числа p корень степени q из единицы имеет q различных значений, если

$$p-1\;\vdots\;q$$

Я верно понял?

[nnosipov]

"Если" можно заменить на "тогда и только тогда, когда". Но я предлагал подумать о том, как решить уравнение $x^k=1$ в произвольной циклической группе порядка $n$. Ваша задача есть частный случай этой.

Upd. А ведь это уже было: http://dxdy.ru/post1435282.html#p1435282