2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простые числа, степени и делимости
Сообщение17.09.2022, 11:54 
Аватара пользователя


26/05/12
1918
приходит весна?
Пусть p и q — два нечётных простых числа, причём: $$p-1\;\vdots\;q$$ Тогда существует $q-1$ различных целых чисел k, таких что $$k^q-1\;\vdots\;p,\quad 2\le k<p$$ Подскажите, пожалуйста, как доказать это алгебраическими методами? Утверждение невероятно естественным образом возникает при решении одной прикладной задачи теории групп, но как оно связано с теорией чисел я ума не приложу. Чем-то похоже на малую теорему Ферма, с той лишь разницей, что МТФ растёт из фундаментальной теоремы теории групп, а не из частной прикладной задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа, степени и делимости
Сообщение17.09.2022, 12:04 
Заслуженный участник


20/12/10
9183
B@R5uk
Это почти не теория чисел, это про циклические группы. Собственно, предварительно нужен только такой факт: мультипликативная группа конечного поля является циклической. А дальше решайте себе уравнения вида $x^k=1$ в любой циклической группе порядка $n$, это легко. Кстати, то, что $q$ --- именно простой делитель числа $p-1$, не важно (а вот то, что $p$ --- простое число, важно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа, степени и делимости
Сообщение17.09.2022, 13:31 
Аватара пользователя


26/05/12
1918
приходит весна?
nnosipov, другими словами, вы предлагаете сформулировать утверждение так:
Цитата:
В поле вычетов по модулю простого числа p корень степени q из единицы имеет q различных значений, если $$p-1\;\vdots\;q$$
Я верно понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простые числа, степени и делимости
Сообщение17.09.2022, 13:38 
Заслуженный участник


20/12/10
9183
"Если" можно заменить на "тогда и только тогда, когда". Но я предлагал подумать о том, как решить уравнение $x^k=1$ в произвольной циклической группе порядка $n$. Ваша задача есть частный случай этой.

Upd. А ведь это уже было: http://dxdy.ru/post1435282.html#p1435282

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group