Схема Кранк-Николсон для уравнения переноса

[zoo]

TOTAL писал(а):

zoo писал(а):

а какой краевой задаче эта разностная схема соответствует в терминах исходного уравнения?

Исходное уравнение переноса с положительным коэффициентом $C$ решается в области $0 < x < 1, \;\; t>0$.
Краевые условия задаются на границе $t=0$ и на границе $x=0$

Если имеется ввиду, что функция $C$ положительна в указанной области, то можно еще вот так сделать:
$u_t+x^2u_x=0$ $u\mid_{t=0}=0$ $u\mid_{x=0}=t$ Задача по-прежнему некорректна

ну я еще могу привести примеры, когда с очень хорошей совсем положительной всюду $C$ решение будет иметь разрыв производной внутри области, воображаю куда Ваша с ним разностная схема уедет тогда

[TOTAL]

Зачем гадать? Пусть автор берет краевые условия и коэффициент, с которыми задача корректна и находит решение по разностной схеме. Пусть на собственном опыте наблюдает результаты применения этой разностной схемы для гладких и негладких решений (у этой схемы будут проблемы даже для гладких решений) и т.д. Пусть экспериментирует.

[serge_bykov]

TOTAL
Спасибо большое...


zoo
Давно я не видел в людях столько чопорности, ну, что ж бывает.
Я Вас прекрасно понял, только в данной задачи мне надо "тупо" это все запрограммировать, а потом уже и исследовать куда она уйдет и на сколько.
и чтобы Вас разочаровать ---

$$C$$

"очень жестко согласована с этими гранусловиями". И если Вам интересно, то могу выложить совсем полное условие данной задачи...

[Zai]

serge_bykov писал(а):

...но нет граничного условия на x=1 и получается, что система не разрешается...

Вы используете центральную пространственную разность на двух временных слоях( их полусумму) для нелинейного уравнения переноса. Ваша разностная схема неоднородна, так как на правом конце интервала нельзя записать центральную разность. При $C=cont>0 можно заменть центральную разность на разность против потока и тогда Вы можите решить эадачу прогонкой. На правом конце интервала разностное соотношение должно иметь вид
\dfrac{u^{j+1}_k - u^j_k}{\tau} + C\left(\frac{u^{j+1}_{k} + u^j_{k}}{2h} - \frac{u^{j+1}_{k-1} - u^j_{k-1}}{2h \right) = 0}

[zoo]

serge_bykov в сообщении #156344 писал(а):

Давно я не видел в людях столько чопорности, ну, что ж бывает.

на самом деле я добрый и синтементальный Спросите любого на этом форуме

serge_bykov в сообщении #156344 писал(а):

Я Вас прекрасно понял,

вот видите, вчера еще Вы не понимали,что задача может быть некорректной, а теперь, после небольшой порки, понмете.

serge_bykov в сообщении #156344 писал(а):

и чтобы Вас разочаровать ---

$$C$$

"очень жестко согласована с этими гранусловиями". И если Вам интересно, то могу выложить совсем полное условие данной задачи...

Что бы Вас разочаровать: в этой задаче нет ничего интересного. Если возникнут проблемы с решением, заходите, я тут в окрестностях прогуливаюсь с палкой.

[Yu_K]

Кстати о некорретных задачах. Есть определенная прелесть, даже некоторая такая образовательная эстетика, когда студент получает на практике подобный вариант задачи с некорректной постановкой. Я не знаю специально или нет но у меня был в свое время преподаватель, который давал некоторым студентам именно некорректные постановки краевых задач для ОДУ второго порядка - прогонка не сходится - при уменьшение шага переменной картина решения меняется (хотя стандартные процедуры некоторых пакетов дают гладкие кривые). Но пока со всем этим студент разберется - он приобретает серьезные навыки вычислительной работы и получает серьезную порцию математической грамотности. Я сам со своими студентами численно эксперементировал и с ОДУ без условия Липшица и с нехорошими функциями для нелинейного уравнения переноса с вязкостью из статьи Олейник и тд. Мозги после этого начинают правильнее работать, появляются нормальные навыки анализа численных результатов. Можно, конечно, с этим спорить - но интересно именно не тупое воспроизводство ранее известных результатов, а некоторый элемент креатива, чтобы на основе анализа численных результатов стало ясно что, что-то не так с решаемой задачей - это нормально помогает побороть "шапкозакидательный" подход некоторых инженерных кадров к вычислительной математике и тд.

[zoo]

Yu_K писал(а):

Кстати о некорретных задачах. Есть определенная прелесть, даже некоторая такая образовательная эстетика, когда студент получает на практике подобный вариант задачи с некорректной постановкой. Я не знаю специально или нет но у меня был в свое время преподаватель, который давал некоторым студентам именно некорректные постановки краевых задач для ОДУ второго порядка - прогонка не сходится - при уменьшение шага переменной картина решения меняется (хотя стандартные процедуры некоторых пакетов дают гладкие кривые). Но пока со всем этим студент разберется - он приобретает серьезные навыки вычислительной работы и получает серьезную порцию математической грамотности. Я сам со своими студентами численно эксперементировал и с ОДУ без условия Липшица и с нехорошими функциями для нелинейного уравнения переноса с вязкостью из статьи Олейник и тд. Мозги после этого начинают правильнее работать, появляются нормальные навыки анализа численных результатов. Можно, конечно, с этим спорить - но интересно именно не тупое воспроизводство ранее известных результатов, а некоторый элемент креатива, чтобы на основе анализа численных результатов стало ясно что, что-то не так с решаемой задачей - это нормально помогает побороть "шапкозакидательный" подход некоторых инженерных кадров к вычислительной математике и тд.

В целом совершенно с Вами согласен. Хочу только отметить, что если Вы увидели, что разностная схема не сходится, считайте что Вам крупно повезло. В некорректной задаче разностная схема может очень хорошо "сходиться" т.е. вести себя как сходящаяся, давать какие-то результаты , нормально вести себя при изменении шага или шевеления параметров, при том, что уравнение не имеет решений. Поэтому, вычисления, проводимые без четкого понимания качественной картины могут завести очень далеко.

[Yu_K]

Цитата:

разностная схема может очень хорошо "сходиться" т.е. вести себя как сходящаяся, давать какие-то результаты , нормально вести себя при изменении шага или шевеления параметров

zoo - а можете привести конкретные примеры?

[tna]

Я написал програму дле уравнения теплопроводности для Матлаб и для Фортран90. Лучшая книга для понимания : "Вьчислителная Физика" - С. Кунин, Мир, 1992. Там обяснен алгортм с изсползование тридиагоналой матрице. Интересно что успел написать програму и для комлексное уравнение (Нелинейное Уравнение Шрьодингера) без нелинейньй член. Введение нелинейного члена я еще не успел. Проблема: приложение метода Хаусхолдера для приведения произволной матрице к тридиагоналной форме. Я видел что в Numerical Reciepes есть короткую програму.

Добавлено спустя 2 минуты 43 секунды:

Кранк-Николсон

Простите что пишу на Руско-Болгарский язик.

[zoo]

Yu_K писал(а):

Цитата:

разностная схема может очень хорошо "сходиться" т.е. вести себя как сходящаяся, давать какие-то результаты , нормально вести себя при изменении шага или шевеления параметров

zoo - а можете привести конкретные примеры?

По-моему так должен вести себя второй мой пример относительно схемы TOTAL.