Кратчайшее расстояние 1 между степенью двойки и тройки

[MGM]

Доказал некое утвердение и хотелось бы знать:
а) верно ли это доказательство (я никаких ошибок не вижу, тем не менее);
б) есть ли более элегантное и короткое.

Доказать утверждение:
Уравнение $\left| {{2^b} - {3^t}} \right| = 1$ верно только для трех пар $\left\{ {b,t} \right\}$ равных $\left\{ {\left\{ {1,1} \right\},\left\{ {2,1} \right\},\left\{ {3,2} \right\}} \right\}$.

Доказательство:
$$\left| {{2^b} - {3^t}} \right| = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {3^t} + 1 = {2^b}\\ {3^t} - 1 = {2^b} \end{array} \right.$ $

Не нарушая общности доказательства, положим, что $t \ge 4$ (для $t<4$ доказательство очевидно и выполняется простой проверкой, включая и первое условие).

Если t нечетное $t = 2n + 1\left| {n \ge 1} \right.$, то:

(1) $ t \ge 3 \rightarrow {3^t} \pm 1 = \left( {3 \pm 1} \right)\left( {{3^{t - 1}} \pm {3^{t - 2}}... \pm 1} \right) = \left( {2or4} \right)\left( {2k + 1} \right) \ne {2^b} $

Для четных t необходимо доказать для каждого случая ${3^t} + 1 \ne {2^b}$ и ${3^t} - 1 \ne {2^b}$

Для этого произведем некоторые алгебраические преобразования:

$\begin{array}{l} {3^{2\tau }} + 1 + 2 - 2 = 3\left( {{3^{2\tau - 1}} + 1} \right) - 2 = \\ 3\left( {{2^2}\left( {2k + 1} \right)} \right) - 2 = 2\left( {2 \cdot 3\left( {2k + 1} \right) - 1} \right) = \\ 2\left( {2m - 1} \right) \ne {2^b} \end{array}$


Для ${3^t} - 1 \ne {2^b}$ предложенная выше схема в общем виде не работает:

${3^{2\tau }} - 1 + 4 - 4 = 3\left( {{3^{2\tau - 1}} + 1} \right) - 4 = 3\left( {4\left( {2k + 1} \right)} \right) - 4 = 4\left( {3\left( {2k + 1} \right) - 1} \right) $

Однако для этого случая есть даже более простое доказательство.
Действительно, если $t \ge 4$ то ${3^{2\tau }} - 1 = \left( {{3^\tau } - 1} \right)\left( {{3^\tau } + 1} \right) $ где $\tau \ge 2$. Учитывая, что уже доказано (1)-(2) для любых $\tau \ge 2$ ${3^\tau } + 1 \ne {2^b}$ имеем:

${3^{2\tau }} - 1 = \left( {{3^\tau } - 1} \right)\left( {{3^\tau } + 1} \right) \ne {2^b}$

[Aritaborian]

MGM в сообщении #1564716 писал(а):

$$\left| {{2^b} - {3^t}} \right| = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {3^t} + 1 = {2^b}\\ {3^t} - 1 = {2^b} \end{array} \right.$$

Скобка не та. Да и стрелка тоже.

[nnosipov]

MGM в сообщении #1564716 писал(а):

б) есть ли более элегантное и короткое

Сначала дайте определение элегантности :)

Тем не менее, вот другое решение: если $m \geqslant 3$, то сравнение $2^m-3^n \equiv 1 \pmod{8}$ невозможно, а при $m \geqslant 4$ невозможно сравнение $3^n-2^m \equiv 1 \pmod{80}$. Таким образом, остается проверить значения $m \in \{1,2,3\}$.

[MGM]

nnosipov в сообщении #1564726 писал(а):

MGM в сообщении #1564716 писал(а):

б) есть ли более элегантмоего ное и короткое

Сначала дайте определение элегантности :)

Тем не менее, вот другое решение: если $m \geqslant 3$, то сравнение $2^m-3^n \equiv 1 \pmod{8}$ невозможно, а при $m \geqslant 4$ невозможно сравнение $3^n-2^m \equiv 1 \pmod{80}$. Таким образом, остается проверить значения $m \in \{1,2,3\}$.

Спасибо. Первая часть доказательства действительно элегантна. А главное, утверждение если $m \geqslant 3$, то сравнение $2^m-3^n \equiv 1 \pmod{8}$ невозможно - утверждение очевидное даже мне, не шибко знакомому с модулярной арифметикой.
Однако, в силу слабого знакомства с методами модулярной алгебры, мне сложно понять с лету часть вторую.
Так как считать в лоб модуль 80ти от двух слагаемых не делящихся нацело на 80 у меня не получается.
Хотя допускаю, что и $3^n-2^m \equiv 1 \pmod{80}$ очевидно для спецов, а значит и все доказательство элегантно.

[mihaild]

Какие остатки бывают у $3^n$ по модулю $80$? А т.к. $2^m$ и $80$ делятся на $16$, то и $2^m$ по модулю $80$ делится на $16$; но т.к. $2$ не делится на $5$, а $80$ делится, то $2^m$ по модулю $80$ не будет нулем.

Я бы правда второй случай рассмотрел аналогично тому что у вас: если $3^n - 2^m \equiv 1 \pmod 8$, то $n$ четное, а тогде $2^m = (3^t - 1)(3^t + 1)$, но тогда оба сомножителя справа - степени двойки, причем отличающиеся на $2$, а таких кроме как $2$ и $4$ не бывает.

[nnosipov]

MGM в сообщении #1564751 писал(а):

Хотя допускаю, что и $3^n-2^m \equiv 1 \pmod{80}$ очевидно для спецов

Нет, это не очевидно, но легко проверяется в уме: $3^n \bmod{80} \in \{1,3,9,27\}$ (очевидно, так как $3^4=81 \equiv 1 \pmod{80}$), $2^m \bmod{80} \in \{16,32,48,64\}$ (нужно чуть-чуть посчитать) и видно, что всевозможные разности не дают единицу по модулю $80$.

Вообще, это хорошо известная задача, она есть в книжке В. Серпинского "250 задач по элементарной теории чисел" (см. задачи 154 и 155).

[MGM]

nnosipov в сообщении #1564765 писал(а):

Вообще, это хорошо известная задача, она есть в книжке В. Серпинского "250 задач по элементарной теории чисел" (см. задачи 154 и 155).

Спасибо за ссылку. К своему стыду книгу не читал.

-- Пт сен 16, 2022 11:43:42 --

mihaild в сообщении #1564757 писал(а):

Какие остатки бывают у $3^n$ по модулю $80$? А т.к. $2^m$ и $80$ делятся на $16$, то и $2^m$ по модулю $80$ делится на $16$; но т.к. $2$ не делится на $5$, а $80$ делится, то $2^m$ по модулю $80$ не будет нулем.

Я бы правда второй случай рассмотрел аналогично тому что у вас: если $3^n - 2^m \equiv 1 \pmod 8$, то $n$ четное, а тогде $2^m = (3^t - 1)(3^t + 1)$, но тогда оба сомножителя справа - степени двойки, причем отличающиеся на $2$, а таких кроме как $2$ и $4$ не бывает.

Посмотрел доказательсво из книжки для второго случая. Не могу сказать что оно проще моего. Разве что для четной степени я лоханулся и не заметил, что в скобках два поледовательных четных.

[novichok2018]

Похоже на известную задачу, которая недавно была решена, что только 9-8=1.

[nnosipov]

Эта задача, известная как Catalan's conjecture, гораздо сложнее. А здесь мы имеем дело с простым частным случаем.

[vicvolf]

MGM в сообщении #1564716 писал(а):

б) есть ли более элегантное и короткое.

Расстояние 1 между $3^2$ и $2^3$ очевидно. Меньшего - 0 быть не может, так в уравнение $3^x=2^y$ не имеет натуральных решений (слева стоит нечетное, а справа четное число).

[nnosipov]

vicvolf
Вы, как всегда, о чем-то своем. У ТС речь идет о том, чтобы найти ВСЕ ситуации, когда степень двойки от степени тройки отстоит на расстояние 1.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1564891 писал(а):

когда степень двойки от степени тройки отстоит на расстояние 1.

Я дополнительно показал, что данное расстояние кратчайшее, как в названии темы.