Интеграл с параметром ( через лемму Жордана и вычеты )

[Metro]

Есть такой интеграл $ \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \frac{\sin x}{x} dx $. Решаю через вычеты и лемму Жордана.
Вспомогательный интеграл $ \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \frac{e^{ix}}{x} dx $
По лемме Жордана: $ F(z) = \frac{z^2 - a^2}{(z^2 + a^2)z} $
Условие: $ \lim_{z\to \infty}F(z) = \lim_{z\to \infty} \frac{z^2 - a^2}{(z^2 + a^2)z} = [\frac{\infty}{\infty}] = \lim_{z\to \infty} \frac{z^3(\frac{1}{z} - \frac{a^2}{z^3})}{z^3(1 - \frac{a^2}{z^2})} = 0 $ - условия леммы Жордана выполнены.
$ f(z) = \frac{z^2 - a^2}{(z^2 + a^2)z}e^{iz} = \frac{z^2 - a^2}{z(z-ai)(z+ai)}e^{iz} $
Особые точки: $ z_1 = ai , z_2 = -ai , z_3 = 0 $ - полюса первого порядка
Найдем вычеты: $ res f(z_1) = \lim_{z\to z_1}(\frac{z^2 - a^2}{z(z-ai)(z+ai)}e^{iz}(z-ai)) = \lim_{z\to z_1}(\frac{z^2 - a^2}{z(z+ai)}e^{iz}) = \frac{- a^2 - a^2}{ai(ai+ai)}e^{-a} = e^{-a} $
$ res f(z_2) = \lim_{z\to z_2}(\frac{z^2 - a^2}{z(z-ai)(z+ai)}e^{iz}(z+ai)) = \lim_{z\to z_2}(\frac{z^2 - a^2}{z(z-ai)}e^{iz}) = \frac{- a^2 - a^2}{-ai(-ai-ai)}e^{a} = e^{a} $
$ res f(z_3) = \lim_{z\to z_3}(\frac{z^2 - a^2}{z(z-ai)(z+ai)}e^{iz}(z-0)) = \lim_{z\to z_3}(\frac{z^2 - a^2}{(z-ai)(z+ai)}e^{iz}) = \frac{- a^2}{-ai \cdot ai}e^{0} = -1 $
Находим значение интеграла через вычеты:
$ \int_{0}^{\infty} f(x) dx = 2\pi i\sum res_{z\to z_k}(f(z)) = 2\pi i(e^{-a} + e^{a} -1) $
По формуле Эйлера:
$ \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \frac{e^{ix}}{x} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \frac{\cos x}{x} dx + i \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \frac{\sin x}{x} dx $
Нас интересует мнимая часть, так что итоговый ответ у меня выходит:
$ \int_{0}^{\infty} \frac{x^2 - a^2}{x^2 + a^2} \frac{\sin x}{x} dx = 2\pi (e^{-a} + e^{a} -1) $
Только этот ответ неверный и если верить ответнику ( а так же я проверял ответ через WolframAlpha и он совпадает с ответом в ответнике ), то итоговый результат будет такой: $ \pi (e^{-a} - \frac{1}{2}) $

Где я мог допустить ошибку? Может я не правильно определил особые точки или допустил ошибки при использовании леммы Жордана? Или может вообще стоило решать не через лемму ( но я точно уверен что решается интеграл как-то через вычеты )?

[svv]

Metro в сообщении #1564717 писал(а):

Где я мог допустить ошибку?

«Заветный контур», состоящий из вещественной оси и верхней полуокружности огромного радиуса, охватывает не все полюсы, а только первый и "половину" третьего.

[thething]

Во-первых, интеграл надо сводить к интегралу по всей оси. Во-вторых, особые точки надо брать только в верхней полуплоскости. И, в-третьих, почитайте в своём курсе, что надо делать, если есть особые точки на оси.

[Metro]

svv в сообщении #1564720 писал(а):

Metro в сообщении #1564717 писал(а):

Где я мог допустить ошибку?

а только первый и "половину" третьего.

Не совсем понимаю почему только "половину" третьего?

[svv]

См., например,
Свешников, Тихонов. Теория функций комплексной переменной. Глава 5, §2, стр.142 (6 издание)
начиная со слов "При доказательстве теорем 5.3 и 5.4 мы предполагали, что функция $f(x)$ не имеет особых точек на действительной оси." и весь Пример 4.

(Оффтоп)

Если бы простой полюс был чуть ниже вещественной оси, он бы не давал никакого вклада в интеграл.
Если бы полюс был чуть выше вещественной оси, он бы давал «полный» вклад $2\pi i\cdot \text{вычет}$.
Теперь пусть полюс как раз на вещественной оси. Интеграл становится несобственным и существует в смысле главного значения. Каков будет вклад полюса? Наивный ответ "половина от «полного» вклада, т.е. $\pi i\cdot \text{вычет}$" оказывается верным.