Задачка из Кострикина - ранги матриц

[ikozyrev]

Кострикин, Веедение в Алгебру, том 1. стр 78:

4. Условие равенства рангов двух матриц

$A = \begin{Vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \end{Vmatrix}$, $B = \begin{Vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \\ \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \\ \gamma_1 & \gamma_2 & \cdots & \gamma_n \end{Vmatrix}$
выразить геометрическим свойством множества n прямых на плоскости.

Пытаюсь решать так:
Есть 2 варианта:
1) Ранг матрицы A равен 1. Это означает что один из столбцов независим (например $[\alpha_1,\beta_1]$), а остальные выражаются через него. Это соответсвует n параллельным прямым на плоскости. Для второй матрицы, соотвественно, это те же параллельные прямые где точки $\gamma$ лежат на них же.
2) Ранг матрицы A равен 2. Это означает что два столбца независимы, а остальные столбцы - их линейная комбинация. Это можно отобразить в виде n пересекающихся прямых в одной точке. Для воторой матрицы, опять же, эти прямые - теже самые, где точки $\gamma$ лежат на них же.

Правильно ли я интерпретирую услвоие задачи?

[DeBill]

ikozyrev
А теорема Кронекера-Капелли в курсе была?

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1140024 писал(а):

ikozyrev
А теорема Кронекера-Капелли в курсе была?

Вы намекаете на то, что надо исследовать еще и совместность этих матриц?

-- 25.07.2016, 13:33 --

DeBill в сообщении #1140024 писал(а):

ikozyrev
А теорема Кронекера-Капелли в курсе была?

ААА все, допер :)
Транспонируем эти матрицы, и получаем, что матрица B это не что иное как расширенная матрица A, и, по вышеупомянутой теореме, раз их ранги совпадают, значит соответсвующая система уравнений совместна, имеет решение, то есть эти n прямых пересекаются в одной точке.

[DeBill]

ikozyrev
Не, я хочу, чтобы Вы написали ее формулировку. И что она означает применительно к Вашей задаче (т.е., в первом случае что то не то у вас...)

-- 25.07.2016, 13:36 --

Ага (или совпадают - для первого случая). Коротко : у них есть общая точка.

[ikozyrev]

DeBill в сообщении #1140026 писал(а):

ikozyrev
Не, я хочу, чтобы Вы написали ее формулировку. И что она означает применительно к Вашей задаче (т.е., в первом случае что то не то у вас...)

-- 25.07.2016, 13:36 --

Ага (или совпадают - для первого случая). Коротко : у них есть общая точка.

Угу. Спасибо!!!

[derlim]

DeBill в сообщении #1140026 писал(а):

ikozyrev
Не, я хочу, чтобы Вы написали ее формулировку. И что она означает применительно к Вашей задаче (т.е., в первом случае что то не то у вас...)

-- 25.07.2016, 13:36 --

Ага (или совпадают - для первого случая). Коротко : у них есть общая точка.

Вы не могли бы, пожалуйста, чуть подробнее объяснить, как соотносятся между собой строки матриц и прямые на плоскости? $\alpha_i$, $\beta_i$ — это произвольные точки плоскости, лежащие на прямой с индексом $\math{i} ? Вероятно, вопрос глупый, но я, к сожалению, не могу понять, каким именно образом пересечение $\math{n} прямых связано с линейной зависимостью строк матрицы.

[svv]

derlim
Это коэффициенты в уравнении прямой вида $\alpha x+\beta y=\gamma$. Индекс $i$ — номер прямой. Получается, что $i$-я прямая задана уравнением $\alpha_i x+\beta_i y=\gamma_i$.

Например, пусть $n=4$. Точка $(x,y)$, принадлежащая всем четырём прямым, существует, если разрешима система
$\begin{bmatrix}\alpha_1&\beta_1\\\alpha_2&\beta_2\\\alpha_3&\beta_3\\\alpha_4&\beta_4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\\\gamma_3\\\gamma_4\end{bmatrix}$
А по теореме Кронекера-Капелли система разрешима, если равны ранги основной и расширенной матрицы системы.

Конечно, если мы хотим общности, термин «прямая» тут надо понимать как всякое множество точек, задаваемое уравнением вида $\alpha x+\beta y=\gamma$, в том числе $0x+0y=0$ (вся плоскость) и $0x+0y=1$ (пустое множество).

[derlim]

svv в сообщении #1564391 писал(а):

derlim
Это коэффициенты в уравнении прямой вида $\alpha x+\beta y=\gamma$. Индекс $i$ — номер прямой. Получается, что $i$-я прямая задана уравнением $\alpha_i x+\beta_i y=\gamma_i$.

Например, пусть $n=4$. Точка $(x,y)$, принадлежащая всем четырём прямым, существует, если разрешима система
$\begin{bmatrix}\alpha_1&\beta_1\\\alpha_2&\beta_2\\\alpha_3&\beta_3\\\alpha_4&\beta_4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\\\gamma_3\\\gamma_4\end{bmatrix}$
А по теореме Кронекера-Капелли система разрешима, если равны ранги основной и расширенной матрицы системы.

Конечно, если мы хотим общности, термин «прямая» тут надо понимать как всякое множество точек, задаваемое уравнением вида $\alpha x+\beta y=\gamma$, в том числе $0x+0y=0$ (вся плоскость) и $0x+0y=1$ (пустое множество).

Большое спасибо!