2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка из Кострикина - ранги матриц
Сообщение25.07.2016, 12:20 


31/03/16
209
Кострикин, Веедение в Алгебру, том 1. стр 78:

4. Условие равенства рангов двух матриц

$A = \begin{Vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \\  \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \end{Vmatrix}$, $B = \begin{Vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_n \\  \beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_n \\  \gamma_1 & \gamma_2 & \cdots & \gamma_n  \end{Vmatrix}$
выразить геометрическим свойством множества n прямых на плоскости.

Пытаюсь решать так:
Есть 2 варианта:
1) Ранг матрицы A равен 1. Это означает что один из столбцов независим (например $[\alpha_1,\beta_1]$), а остальные выражаются через него. Это соответсвует n параллельным прямым на плоскости. Для второй матрицы, соотвественно, это те же параллельные прямые где точки $\gamma$ лежат на них же.
2) Ранг матрицы A равен 2. Это означает что два столбца независимы, а остальные столбцы - их линейная комбинация. Это можно отобразить в виде n пересекающихся прямых в одной точке. Для воторой матрицы, опять же, эти прямые - теже самые, где точки $\gamma$ лежат на них же.

Правильно ли я интерпретирую услвоие задачи?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из Кострикина - ранги матриц
Сообщение25.07.2016, 12:26 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
ikozyrev
А теорема Кронекера-Капелли в курсе была?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из Кострикина - ранги матриц
Сообщение25.07.2016, 12:29 


31/03/16
209
DeBill в сообщении #1140024 писал(а):
ikozyrev
А теорема Кронекера-Капелли в курсе была?


Вы намекаете на то, что надо исследовать еще и совместность этих матриц?

-- 25.07.2016, 13:33 --

DeBill в сообщении #1140024 писал(а):
ikozyrev
А теорема Кронекера-Капелли в курсе была?


ААА все, допер :)
Транспонируем эти матрицы, и получаем, что матрица B это не что иное как расширенная матрица A, и, по вышеупомянутой теореме, раз их ранги совпадают, значит соответсвующая система уравнений совместна, имеет решение, то есть эти n прямых пересекаются в одной точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из Кострикина - ранги матриц
Сообщение25.07.2016, 12:34 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
ikozyrev
Не, я хочу, чтобы Вы написали ее формулировку. И что она означает применительно к Вашей задаче (т.е., в первом случае что то не то у вас...)

-- 25.07.2016, 13:36 --

Ага (или совпадают - для первого случая). Коротко : у них есть общая точка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из Кострикина - ранги матриц
Сообщение25.07.2016, 12:38 


31/03/16
209
DeBill в сообщении #1140026 писал(а):
ikozyrev
Не, я хочу, чтобы Вы написали ее формулировку. И что она означает применительно к Вашей задаче (т.е., в первом случае что то не то у вас...)

-- 25.07.2016, 13:36 --

Ага (или совпадают - для первого случая). Коротко : у них есть общая точка.


Угу. Спасибо!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из Кострикина - ранги матриц
Сообщение08.09.2022, 07:19 


04/10/17
12
DeBill в сообщении #1140026 писал(а):
ikozyrev
Не, я хочу, чтобы Вы написали ее формулировку. И что она означает применительно к Вашей задаче (т.е., в первом случае что то не то у вас...)

-- 25.07.2016, 13:36 --

Ага (или совпадают - для первого случая). Коротко : у них есть общая точка.


Вы не могли бы, пожалуйста, чуть подробнее объяснить, как соотносятся между собой строки матриц и прямые на плоскости? $\alpha_i$, $\beta_i$ — это произвольные точки плоскости, лежащие на прямой с индексом $\math{i} ? Вероятно, вопрос глупый, но я, к сожалению, не могу понять, каким именно образом пересечение $\math{n} прямых связано с линейной зависимостью строк матрицы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из Кострикина - ранги матриц
Сообщение08.09.2022, 13:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10910
Crna Gora
derlim
Это коэффициенты в уравнении прямой вида $\alpha x+\beta y=\gamma$. Индекс $i$ — номер прямой. Получается, что $i$-я прямая задана уравнением $\alpha_i x+\beta_i y=\gamma_i$.

Например, пусть $n=4$. Точка $(x,y)$, принадлежащая всем четырём прямым, существует, если разрешима система
$\begin{bmatrix}\alpha_1&\beta_1\\\alpha_2&\beta_2\\\alpha_3&\beta_3\\\alpha_4&\beta_4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\\\gamma_3\\\gamma_4\end{bmatrix}$
А по теореме Кронекера-Капелли система разрешима, если равны ранги основной и расширенной матрицы системы.

Конечно, если мы хотим общности, термин «прямая» тут надо понимать как всякое множество точек, задаваемое уравнением вида $\alpha x+\beta y=\gamma$, в том числе $0x+0y=0$ (вся плоскость) и $0x+0y=1$ (пустое множество).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка из Кострикина - ранги матриц
Сообщение10.09.2022, 07:18 


04/10/17
12
svv в сообщении #1564391 писал(а):
derlim
Это коэффициенты в уравнении прямой вида $\alpha x+\beta y=\gamma$. Индекс $i$ — номер прямой. Получается, что $i$-я прямая задана уравнением $\alpha_i x+\beta_i y=\gamma_i$.

Например, пусть $n=4$. Точка $(x,y)$, принадлежащая всем четырём прямым, существует, если разрешима система
$\begin{bmatrix}\alpha_1&\beta_1\\\alpha_2&\beta_2\\\alpha_3&\beta_3\\\alpha_4&\beta_4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\\\gamma_3\\\gamma_4\end{bmatrix}$
А по теореме Кронекера-Капелли система разрешима, если равны ранги основной и расширенной матрицы системы.

Конечно, если мы хотим общности, термин «прямая» тут надо понимать как всякое множество точек, задаваемое уравнением вида $\alpha x+\beta y=\gamma$, в том числе $0x+0y=0$ (вся плоскость) и $0x+0y=1$ (пустое множество).


Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group