Проверка неравенства с помощью ряда Тейлора

[dnlrznv]

Изучаю применения рядов Тейлора. Вот пример: проверить, что при $0 < |x| < \frac{\pi}{2}$ выполняется $\cos(x) < \left( \frac{\sin(x)}{x} \right)^3$. Проблема с последней стадией проверки. Я избавился от степени синуса с помощью тригонометрического тождества, разложил всё в ряд Тейлора. Подумал, что поможет и вычел ряд косинуса из ряда левой части, получив формулу общего члена разницы левой и правой части. Теперь, имея эту разницу, остаётся доказать, что при любом $x$ из области она больше нуля. Как это сделать?

Мои догадки в том, что, хоть и члены ряда знакопеременны, но при любом иксе каждый следующий по модулю меньше предыдущего, что, учитывая положительный первый член, свидетельствует о положительности всего ряда, а значит и верности неравенства.

[novichok2018]

Я бы умножил на $x^3$ и стал производные брать.

[novichok2018]

Не так всё просто. Из графика видно, что разность между правой и левой частями монотонно возрастает. И как это доказать? С производной вроде сразу не выходит...

[novichok2018]

Ещё интересно - куб это предел, или можно ещё степень увеличивать, уменьшая правую часть?
Судя по графикам, это точная степень, куб.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1564203 писал(а):

С производной вроде сразу не выходит...

Да все там выходит. Доказываем такую цепочку неравенств:

$$\cos{x}<1-x^2/2+x^4/24<(1-x^2/6)^3<(\sin{x}/x)^3$$

при $0<x<\pi/2$. Для доказательства крайних неравенств дифференцируем до посинения, а среднее неравенство (с многочленами) легко упрощается и верно даже при $0<x<3$.

[zykov]

nnosipov в сообщении #1564208 писал(а):

$(1-x^2/3)^3$

Нужно $(1-x^2/6)^3$

[nnosipov]

Исправил.

[novichok2018]

Класс, сам бы про среднее неравенство никогда не догадался.
То что для степени $3+\varepsilon$ неравенство неверно, можно доказать?

[zykov]

novichok2018 в сообщении #1564219 писал(а):

То что для степени $3+\varepsilon$ неравенство неверно, можно доказать?

Так возьмите ряд около нуля.

$$\cos x = 1-\frac{x^2}{2}+...$$

$$\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{3+\varepsilon}=\left(1-\frac{x^2}{6}+...\right)^{3+\varepsilon}=1-(3+\varepsilon)\frac{x^2}{6}+...$$

[novichok2018]

Понятно, спасибо. Ещё остаётся задача доказать монотонность функции при $x>0$, равной разности между правой и левой частями. (Трудная?)
Можно также переформулировать как неравенства с какими-то комбинаторными числами, которые возникают при разложении куба в правой части (не помню их по имени).

[TOTAL]

Можно так переписать это неравенство?

$$\cos(x) \le \prod_{i=1}^{\infty} \cos^3(\frac{x}{2^i}) $$

[novichok2018]

TOTAL и дальше?

[TOTAL]

novichok2018 в сообщении #1564311 писал(а):

TOTAL и дальше?

Это не про "дальше".
Исходное неравенство доказали, оно верное. Я спрашиваю, верно ли, что из него следует написанное неравенство.

[nnosipov]

TOTAL в сообщении #1564313 писал(а):

Я спрашиваю, верно ли, что из него следует написанное неравенство.

Ну, верно. А что? (Я не понимаю, в чем прикол.)

[TOTAL]

nnosipov в сообщении #1564314 писал(а):

TOTAL в сообщении #1564313 писал(а):

Я спрашиваю, верно ли, что из него следует написанное неравенство.

Ну, верно. А что? (Я не понимаю, в чем прикол.)

А как его доказать? Как догадаться без исходного неравенства?