Уравнение в целых числах

[Mirage_Pick]

Решить уравнение

$$y(x^3-y) = z^3 + 3$$

в целых числах.

Сперва хотел поместить в олимпиадный раздел, но уравнение слишком уж трудное. Я немного поковырялся в нем и не нашел причин, по которым уравнение не должно было бы иметь решений. Но поиском с помощью компьютера мне пока не удалось найти никаких решений.

[nnosipov]

Mirage_Pick в сообщении #1563911 писал(а):

не нашел причин, по которым уравнение не должно было бы иметь решений

А мне наоборот кажется: с чего бы ему иметь решения? Относительно $y$ и $z$ (при фиксированном $x$) это эллиптическая кривая, на которой целых точек нет. И так при каждом $x$. Почему бы такому не быть?

Разумеется, доказать здесь ничего не удастся (во всяком случае, просто доказать).

Upd. Кстати, а мотивация-то какова? Почему не уравнение $y(x^3-y)=z^3+13$? У этого последнего есть случайное решение $(x,z)=(13,53)$, $y \in \{70,2127\}$ (может быть, даже единственное).

[Mirage_Pick]

nnosipov в сообщении #1563921 писал(а):

Кстати, а мотивация-то какова?

Это минимальный пример, который я смог придумать, который не поддается алгоритмическим решениям, либо же решениям на основании элементарных идей. Этот пример удалось сварганить как гибрид из уравнений, поддающихся решению через простые делители квадратичных форм, навроде

$$y(x^2-z^2-y+1) = x^2 + 3.$$

[Gagarin1968]

nnosipov в сообщении #1563921 писал(а):

уравнение $y(x^3-y)=z^3+13$? У этого последнего есть случайное решение $(x,z)=(13,53)$, $y \in \{70,2127\}$ (может быть, даже единственное)

А я нашёл ещё четыре:

$x=-2, y=-6, z=-1$

$x=-2, y=-2, z=-1$

$x=2, y=2, z=-1$

$x=2, y=6, z=-1$

[nnosipov]

Mirage_Pick в сообщении #1563964 писал(а):

Это минимальный пример, который я смог придумать, который не поддается алгоритмическим решениям, либо же решениям на основании элементарных идей.

Таких примеров много. Например, уравнение

$$y^2=x^3-3z^2-1.$$

Оно имеет бесконечно много решений (элементарный факт), но найти все решения в целых числах вряд ли возможно.

Gagarin1968 в сообщении #1563967 писал(а):

А я нашёл ещё четыре:

А я имел в виду решения в натуральных числах. В любом случае доказательство того, что найдены все решения, остается мечтой.

-- Пт сен 02, 2022 15:10:06 --

Mirage_Pick в сообщении #1563964 писал(а):

из уравнений, поддающихся решению через простые делители квадратичных форм, навроде

$$y(x^2-z^2-y+1) = x^2 + 3.$$

Вот это сгодилось бы для Олимпиадного раздела.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #1563980 писал(а):

Например, уравнение

$$y^2=x^3-3z^2-1.$$

Оно имеет бесконечно много решений (элементарный факт), но найти все решения в целых числах вряд ли возможно

Двухпараметрическое неполное для нечтных $x$

$x=a^2+3b^2+1$

$y=\frac 1 2 (a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + 9 b^3 + 6 b)$

$z=\frac 1 2 (-a^3 + a^2 b - 3 a b^2 - 2 a + 3 b^3)$

где $a,b$ - нечетные.

[nnosipov]

Shadow
Интересно, у меня всего лишь однопараметрическое (относительно $z$).

-- Вс сен 04, 2022 18:59:49 --

Shadow в сообщении #1564139 писал(а):

$z=\frac 1 2 (-a^3 + a^2 b - 3 a b^2 - 2 a + 3 b^3)$

где $a,b$ - нечетные.

Да, здесь не все $z$ возможны, например $z=2$ невозможно.

[Shadow]

nnosipov в сообщении #1564140 писал(а):

Да, здесь не все $z$ возможны, например $z=2$ невозможно.

При $a=b=-2$ возможно, но тогда $y,z$ не взаимнопростые, какая была первоначалная идея. Если переписать уравнение в виде

$y^2+3z^2=(x-1)(x^2+x+1)$,

то для взаимнопрстых $y,z$ как бы обязателно все простые делители левой части 3 либо $1\pmod 3$ откуда

$x-1=a^2+3b^2$ -тут кажется без вариантов. И $x^2+x+1$ представимо в данной квадратичной форме - при $x=2n+1$ (наверное зря пренебрег четных)

$x^2+x+1=n^2+3(n+1)^2$

и перемножить

Но конечно это не обязательно единственное представление, $x^2+x+1$ в виде $u^2+3v^2$ откуда и неполнота решений.

[nnosipov]

Shadow в сообщении #1564144 писал(а):

При $a=b=-2$ возможно

Я имел в виду только нечетные значения $a$ и $b$. Это я к тому, что для данного $z$ можно выяснить, представимо ли $z$ в указанном виде (полагаю, непредставимые ни при каких целых $a$, $b$ все же сыщутся).

-- Вс сен 04, 2022 20:03:25 --

Shadow в сообщении #1564144 писал(а):

$x-1=a^2+3b^2$ -тут кажется без вариантов. И $x^2+x+1$ представимо в данной квадратичной форме - при $x=2n+1$ (наверное зря пренебрег четных)

$x^2+x+1=n^2+3(n+1)^2$

Интересная идея, вроде бы и не новая, но все равно производит впечатление. У меня есть несколько примеров подобного рода, надо будет их протестировать.

[mathematician123]

Mirage_Pick в сообщении #1563964 писал(а):

Это минимальный пример, который я смог придумать, который не поддается алгоритмическим решениям, либо же решениям на основании элементарных идей.

Обнаружил сегодня тему на mathoverflow. Уравнение $y(x^3 - y) = z^3 + 3$ является в некотором смысле минимальным примером уравнения, наличие решений у которого является на данный момент открытой проблемой.