не нашел причин, по которым уравнение не должно было бы иметь решений
А мне наоборот кажется: с чего бы ему иметь решения? Относительно

и

(при фиксированном

) это эллиптическая кривая, на которой целых точек нет. И так при каждом

. Почему бы такому не быть?
Разумеется, доказать здесь ничего не удастся (во всяком случае, просто доказать).
Upd. Кстати, а мотивация-то какова? Почему не уравнение

? У этого последнего есть случайное решение

,

(может быть, даже единственное).