Интервал натуральных чисел.

[Руст]

Пусть n(k) означает максимальную длину интервала натуральных чисел х+1, х+2,...,x+n обладающих свойством: любой из них делится на одно из первых k простых чисел: $p_1=2,p_2=3,...,p_k,k>1$.
1. Докажите, что n(k) нечётное число удовлетворяющее неравенству:
$n(k)\ge 2p_{k-1}-1.$
2. Верно ли, что (я незнаю ответа): $n(k)<2p_k-1$.

[nworm]

Что-то я совсем запутался. Если не затруднит, приведите, пожалуйста, пример для p_k=13 (ряд из 21 числа).

[Руст]

Возьмите числа 9440, 9441, ....,9460.

[Феликс Шмидель]

nworm, пожалуйста, x=9439 или x=20569.

[juna]

Помогает здесь китайская теорема об остатках – позволяет найти k – чисел, если k велико, то числа х+k+1.. начинают делиться на простые 2, 3, …

[maxal]

Для пункта 1 достаточно рассмотреть отрезок [ P-p_{k-1}+1, P+p_{k-1}-1 ], где P является кратным числа p_1\cdot p_2\cdot\dots\cdot p_{k-2} таким, что P-1 кратно p_{k-1} и P+1 кратно p_k. Этот отрезок содержит 2 p_{k-1} -1 целых чисел и поэтому n(k)\geq 2 p_{k-1} - 1.

[Руст]

Всё правильно. То, что n(k) нечётное число следует из того, что x+1 и x+n(k) чётные числа.
Вычисления при k не превосходящих 12 дают, что n(9)=39>37, n(12)=65>61.

[maxal]

Кстати, вот последовательность n(k): A058989.

Как видим, n(14)=89 > 85 = 2 p_{14} - 1 дает наименьший контр-пример к утверждению пункта 2. Более того, похоже, что для k\geq 14 всегда выполняется неравенство n(k) > 2 p_k - 1.

[Руст]

Есть конструкция, которая дает иногда большие интервалы вплоть до $2p_k-1$, но что существует интервал больше этого, считал невозможным. Суть этой конструкции в рассмотрении интервала чисел: $(y+2mp_k,y+2(m+1)p_k), y=Np_2*p_3*...*p_{k-1}$. Здесь N нечётное число и в интервале: $(mp_k,(m+1)p_k)$ каждое число за исключением одного делится на одно из первых k-2 нечётных простых чисел: $p_2,p_3,...,p_{k-1}$.