2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интервал натуральных чисел.
Сообщение07.04.2006, 15:43 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Пусть n(k) означает максимальную длину интервала натуральных чисел х+1, х+2,...,x+n обладающих свойством: любой из них делится на одно из первых k простых чисел: $p_1=2,p_2=3,...,p_k,k>1$.
1. Докажите, что n(k) нечётное число удовлетворяющее неравенству:
$n(k)\ge 2p_{k-1}-1.$
2. Верно ли, что (я незнаю ответа): $n(k)<2p_k-1$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2006, 19:59 


17/09/05
121
Что-то я совсем запутался. Если не затруднит, приведите, пожалуйста, пример для p_k=13 (ряд из 21 числа).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2006, 21:10 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Возьмите числа 9440, 9441, ....,9460.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2006, 21:20 


31/03/06
1384
nworm, пожалуйста, x=9439 или x=20569.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2006, 21:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Помогает здесь китайская теорема об остатках – позволяет найти k – чисел, если k велико, то числа х+k+1.. начинают делиться на простые 2, 3, …

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2006, 22:21 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Для пункта 1 достаточно рассмотреть отрезок [ P-p_{k-1}+1, P+p_{k-1}-1 ], где P является кратным числа p_1\cdot p_2\cdot\dots\cdot p_{k-2} таким, что P-1 кратно p_{k-1} и P+1 кратно p_k. Этот отрезок содержит 2 p_{k-1} -1 целых чисел и поэтому n(k)\geq 2 p_{k-1} - 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.04.2006, 22:41 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Всё правильно. То, что n(k) нечётное число следует из того, что x+1 и x+n(k) чётные числа.
Вычисления при k не превосходящих 12 дают, что n(9)=39>37, n(12)=65>61.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2006, 00:58 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Кстати, вот последовательность n(k): A058989.

Как видим, n(14)=89 > 85 = 2 p_{14} - 1 дает наименьший контр-пример к утверждению пункта 2. Более того, похоже, что для k\geq 14 всегда выполняется неравенство n(k) > 2 p_k - 1.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2006, 07:33 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Есть конструкция, которая дает иногда большие интервалы вплоть до $2p_k-1$, но что существует интервал больше этого, считал невозможным. Суть этой конструкции в рассмотрении интервала чисел: $(y+2mp_k,y+2(m+1)p_k), y=Np_2*p_3*...*p_{k-1}$. Здесь N нечётное число и в интервале: $(mp_k,(m+1)p_k)$ каждое число за исключением одного делится на одно из первых k-2 нечётных простых чисел: $p_2,p_3,...,p_{k-1}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group