Предел Вероятности

[Alexiii]

Имеется задача:
Из множества $\{1,2,3,..,n\}$ натуральных чисел выбираются с возвращением числа $x$ и $y$.
Каков предел вероятности события $x^2+y^2\leqslant n^2$ при $\limits_{n \to \infty}$?
Задачу надо решить ,как минимум, 2-мя способами!
Подкиньте,пожалуйста,идеи!

Мои соображения:
Вероятностное пространство я представил в виде квадрата со стороной $n$ с центром в начале координат,а искомое событие представил в виде сектора окружности с центром в начале координат и радиусом $n$,находящегося в первой четверти декартовой системы координат.
Таким образом моя вероятность представляет отношение площади сектора к площади квадрата, то есть вероятность $P\{x^2+y^2\leqslant n^2\}=\frac{\pi}{4}=\lim\limits_{n \to \infty} P\{x^2+y^2\leqslant n^2\}$.

[PAV]

Вероятность найдена неверно. Точное значение должно быть рациональным числом, а $\frac{\pi}{4}$ - иррациональное. Но подход разумный.

Добавлено спустя 3 минуты:

Правильнее оставаться в рамках квадрата $1\times 1$, разделив все числа на $n$. Тогда получатся приближения площадей все более мелкой сеткой рациональных чисел.

[MGM]

PAV писал(а):

Вероятность найдена неверно. Точное значение должно быть рациональным числом, а $\frac{\pi}{4}$ - иррациональное. Но подход разумный.

Добавлено спустя 3 минуты:

Правильнее оставаться в рамках квадрата $1\times 1$, разделив все числа на $n$. Тогда получатся приближения площадей все более мелкой сеткой рациональных чисел.

Ближайшее рациональное к $\frac{\pi}{4}$?
Учитывая, что это предел, то ответ верный.

[Alexiii]

Тогда у меня вероятность получится в виде интегральной суммы $\Sigma_{x^2+y^2\leqslant 1} \frac{x^2+y^2}{n^2}$,а предел - сам интеграл,но сложность в том,что для любого $n$ не могу высчитать координаты всех квадратиков,которые попадут внутри окружности,т.е. количество попавших внутри окружности квадратиков.

Добавлено спустя 46 минут 36 секунд:

как же поступать?

[Brukvalub]

Попробуйте показать, что совершаемая при переходе от ступенчатой фигуры к сектору ошибка стремится к 0 при увеличении n.

[PAV]

А не нужно считать точно. Квадрат разбивается на мелкие квадратики. Часть из них попадают полностью внутрь круга, часть - полностью лежат снаружи, часть - пересекаются с границей круга. Точная вероятность для заданного $n$ отличается от площади круга не более и не менее чем на сумму площадей квадратиков последнего типа. Но при измельчении квадратиков их площадь стремится к нулю. Вот и вся схема доказательства.

[Alexiii]

Да,но тогда все равно невозможно указать точную вероятность при фиксированном $n$.А при переходе на предел получается тот же $\frac{\pi}{4}$.
Но надо указать точную формулу вычисления вероятности при фиксированном $n$ тоже.
Задача расчитана на 2-курсников,так что ,вероятно,существует более простое решение,может быть,негеометрическое.
Прошу помочь сдвинуться с места

[PAV]

Alexiii писал(а):

Но надо указать точную формулу вычисления вероятности при фиксированном $n$ тоже.

Вообще-то в тексте задачи этого не требуется. Точная формула может быть основана только на суммировании по всем парам $(x,y)$, удовлетворяющих требуемым условиям. Можно скрыть ее за двойным суммированием: сначала по всем возможным $x$, а затем - при фиксированном $x$ по всем целым $y$ от 1 до $\sqrt{n^2-x^2}$.

[Brukvalub]

Всего возможных исходов -

\[n^2 \]

. Благоприятных исходов -

\[ \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left[ {\sqrt {k^2 - 1} } \right]} \]

Потом делим второе число на первое. (квадратные скобки означают взятие целой части числа).

[Alexiii]

PAV,а что если,пользуясь Вашей идеей,сделать так:
$\{x^2+y^2\leqslant n^2\}=\cup_{k=1}^{n-1}\{\{x\leqslant k\}\cap \{y\leqslant \sqrt{n^2-k^2}\}\}$
Из сего следует:
$P\{\ x^2+y^2\leqslant n^2\}=\Sigma_{k=1}^{n-1} (P\{x\leqslant k\}\times P\{y\leqslant \sqrt{n^2-k^2}\})$
Естественно:
$P\{x\leqslant k\}=\frac{k}{n}$
$P\{y\leqslant \sqrt{n^2-k^2}\}=\frac{[\sqrt{n^2-k^2}]}{n}$,$[\sqrt{n^2-k^2}]$-целая часть $\sqrt{n^2-k^2}$
То есть получаем:
$P\{\ x^2+y^2\leqslant n^2\}=\Sigma_{k=1}^{n-1} \frac{k[\sqrt{n^2-k^2}]}{n^2}$
$\lim\limits_{n \to \infty} P\{x^2+y^2\leqslant n^2\}=\lim\limits_{n \to \infty} \Sigma_{k=1}^{n-1} \frac{k[\sqrt{n^2-k^2}]}{n^2}=?$

Добавлено спустя 6 минут 26 секунд:

Brukvalub,а как тогда вычислить предел при стремлении $n$ к бесконечности?

[Brukvalub]

Alexiii в сообщении #156433 писал(а):

Brukvalub,а как тогда вычислить предел при стремлении $n$ к бесконечности?

Геометрически, как Вы проделали выше.

[Alexiii]

[quote="Brukvalub]Геометрически[/quote]
А аналитически никак,то есть прямым анализом P?

[Brukvalub]

Alexiii в сообщении #156465 писал(а):

А аналитически никак,то есть прямым анализом P?

Думаю, это будет непросто - нужна мощная аналитика...

[Alexiii]

Понятно!
Крайне благодарен Вам за оказанную помощь!
Низкий Вам поклон!

[Henrylee]

В принципе указанный PAVом и Brukvalubом метод решения допускает чисто аналитическую интерпретацию (подчеркну - тот же метод, только , без акцентирования внимания на "маленьких квадратиках").
Пусть $\xi$ и $\eta$ независимые (независимость выборов чисел $x$ и $y$ предполагается, как я понимаю) с.в. равномерно распределенные на полуинтервале $[0,1)$. Очевидно, что с.в. $[n\xi+1]$ и $[n\eta+1]$ ([$\cdot$]-целая часть числа) распределены так же, как и $x$ и $y$ соответственно. Введем дополнительно с.в.

$$ \varepsilon_n:=n\xi+1-[n\xi+1] $$

и

$$ \delta_n:=n\eta+1-[n\eta+1] $$

Тогда нас интересует предел выражения

$$ P\{X_n\leqslant 1\}, $$

где

$$ X_n=\xi^2+\eta^2+\frac1n(2\xi(1-\varepsilon_n)+2\eta(1-\delta_n))+\frac1{n^2}\left((1-\varepsilon_n)^2+ (1-\delta_n)^2\right) $$

Поскольку с.в. $\xi,\eta,\varepsilon_n,\delta_n$ ограничены, то $X_n\to\xi^2+\eta^2$ почти наверное. Значит и по распределению. Тогда предельная вероятность есть

$$ P\{\xi^2+\eta^2\leqslant 1\}=\pi/4 $$