2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение07.11.2008, 09:57 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Интересно было бы узнать, какой "другой" метод решения задачи предполагается в формулировке? Мне ничего в голову не пришло.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.11.2008, 15:28 
Аватара пользователя


10/03/08
208
течет река и откуда у мудреца мудрость
Я крайне удивился,когда сегодня препод сказал,что не видит трудности в прямом переходе к пределу и последующем вычислении
выражения (римановой суммы) $\Sigma_{k=1}^{n-1} \frac{[\sqrt{n^2-k^2}]}{n^2}$
Как же так?
Наверное,он это имел в виду под иным способ решения,минуя все квадратики,в которых кстати есть к чему придраться насчет отождествления дискретного случая с непрерывным и тем,что единичный квадрат должен начинаться не с $(0,0)$,а с $(\frac{1}{n},\frac{1}{n})$ (так как мы не берем $0$,а только натуральные числа),что фактически меняет геометрическую картину (тогда дуга окружности будет пересекать квадрат не в вершинах).Да и в пределе все равно не получится непрерывная картина,на основе которой происходит употребление формул геометрической вероятности.
Понятно,что априори ответ в пределе - $\frac{\pi}{4}$,но доказательство содержит опущенные неочевидные преобразования.
Короче говоря,есть много недоказанных переходов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение07.11.2008, 15:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Alexiii в сообщении #156601 писал(а):
Я крайне удивился,когда сегодня препод сказал,что не видит трудности в прямом переходе к пределу и последующем вычислении
выражения (римановой суммы) $\Sigma_{k=1}^{n-1} \frac{[\sqrt{n^2-k^2}]}{n^2}$
Выходит, что преподаватель все равно предложил геометрический подход к решению. :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2008, 01:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Alexiii писал(а):
..минуя все квадратики,в которых кстати есть к чему придраться насчет отождествления дискретного случая с непрерывным ... Да и в пределе все равно не получится непрерывная картина,на основе которой происходит употребление формул геометрической вероятности.

Не к чему в этом методе придираться. Вы мой предыдущий пост читали? Не читали.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2008, 14:18 
Аватара пользователя


10/03/08
208
течет река и откуда у мудреца мудрость
Да,право,не читал,но вопрос про непосредственный переход к пределу из выражения для фиксированных $n$ и вывода оттуда ответа для предела представляется мне очень сложным,наперекор моему преподу,который не видит в этом трудности.
Так я искренне интересуюсь,каким это способом?
Тут Ваш метод совершенно не втянут :D ,он действительно непридираем!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2008, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Alexiii в сообщении #156759 писал(а):
непосредственный переход к пределу из выражения для фиксированных $n$ и вывода оттуда ответа для предела представляется мне очень сложным,наперекор моему преподу,который не видит в этом трудности.
Так давайте и попросим Вашего преподавателя показать, как он умеет аналитически найти предел того аналитического выражения, которое он Вам выписал.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.11.2008, 15:33 
Аватара пользователя


10/03/08
208
течет река и откуда у мудреца мудрость
Brukvalub,
я боюсь у него спрашивать,он бойкий! :D
Но раз такие компетентные люди (без преувеличения,с полной серьезностью),как Вы,развеяли мои сомнения,то я ,пожалуй, рискну :lol: ,но за последствия не отвечаю :P
Наверное,он имел в виду,что предел даст ему интеграл от такой функции,которая при интегрировании даст заветный четвертак ПИ.
Но я не вижу этих переходов :cry:

Спасибо Вам за ответ!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.11.2008, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Alexiii писал(а):
Наверное,он имел в виду,что предел даст ему интеграл от такой функции,которая при интегрировании даст заветный четвертак ПИ.
Но я не вижу этих переходов :cry:

Каких таких переходов к интегралу Вы не видите?
$$
\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\sqrt{n^2-k^2}-1}{n^2}\leq
\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\left[\sqrt{n^2-k^2}\right]}{n^2}\leq
\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\sqrt{n^2-k^2}}{n^2}\to\int\limits_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx
$$
Левая сумма стремится туда же.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.11.2008, 10:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Alexiii писал(а):
Я крайне удивился,когда сегодня препод сказал,что не видит трудности в прямом переходе к пределу и последующем вычислении
выражения (римановой суммы) $\Sigma_{k=1}^{n-1} \frac{[\sqrt{n^2-k^2}]}{n^2}$
Как же так?

Правильно не видит:

$$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\sqrt{n^2-k^2}}{n^2}=\sum_{k=1}^{n-1} \sqrt{1-\left({k\over n}\right)^2}\cdot{1\over n}$$,

и это сумма -- совершенно откровенно интегральная для $\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx$, ну разве что одного слагаемого не хватает (с $k=0$ или с $k=n$), но оно всё равно стремится к нулю.

А почему антье можно гордо проигнорировать? -- а потому, что его учёт даст поправку, оцениваемую как $O(n^{-1})$, т.е. несущественную.

(подход Henrylee тоже хорош, но -- для матэстетов и для менее тривиальных ситуаций)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group