2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 17-я проблема Гильберта
Сообщение19.08.2022, 11:15 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
Хочу предложить элементарное, конструктивное решение 17-й проблемы Гильберта для многочленов одной переменной, а также обсудить возможность расширить его на две и более переменных.

Формулировка: Любой неотрицательный многочлен можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций.

Обозначения и определения:

"скобка чётной степени" ─ запись вида $(\cdots)^{2n}$, $n \in \mathbb{N}$ ;
"скобка нечётной степени" ─ запись вида $(\cdots)^{2n+1}$, $n \in \mathbb{N}$ ;
форма $SOS$ ─ сумма рациональных функций, в записи которых все знаки "$-$" и все переменные содержатся внутри скобок чётной степени ;
форма $SOS^+$ ─ сумма рациональных функций, в записи которых все знаки "$-$" содержатся внутри скобок чётной степени ;
форма $SOS^+[x_1,x_2\cdots x_n]$ ─ сумма рациональных функций, в записи которых переменные $x_1,x_2\cdots x_n$ и все знаки "$-$" содержатся внутри скобок чётной степени ;

*Во всех обозначениях ниже, вместо $x$ и $y$ можно рассматривать $x_1,x_2\cdots x_n$ и $y_1,y_2\cdots y_n$ соответственно.

$^+P_1(x,y)$ ─ неотрицательная рациональная функция $P_1$, при $x,y\geq0$ ;

$^{+S}P_1(x,y)$ ─ рациональная функция $P_1$, записанная в форме $SOS^+$ ;

$^{\ +}_{[x]}P_1(x,y)$ ─ неотрицательная рациональная функция $P_1$, при $x \in \mathbb{R}$, $y\geq0$ ;

$^{+S}_{[x]}P_1(x,y)$ ─ рациональная функция $P_1$, записанная в форме $SOS^+[x]$ ;

$^{S}P_1(x,y)$ ─ рациональная функция $P_1$, записанная в форме $SOS$ ;

*Если по контексту ясно (а так будет в подавляющем большинстве случаев), от каких переменных зависит рациональная функция, скобки после её названия будут опускаться, т.е. вместо $P_1(x)$ просто $P_1$.

$A\mathrel{|}\joinrel=B$ ─ отношение общего представления (читается: " любую форму $A$ можно представить формой $B$ ") ;

$^{\ X}_{[Y]}\mathcal{F}\{x,y,z,...\}$ ─ выражение вида $x\cdot^{\ X}_{[Y]}P_1+y\cdot^{\ X}_{[Y]}P_2+z\cdot^{\ X}_{[Y]}P_3+...$ ;

*Здесь $\mathcal{F}$ следует понимать как форму, поэтому индексы отсутствуют. Например, выражение $^{+S}\mathcal{F}\{x,y\}\cdot ^{+S}\mathcal{F}\{x,y\}\mathrel{|}\joinrel=^{+S}\mathcal{F}\{xy,1\}$ следует понимать так:
$\left(x\cdot^{+S}A_1+y\cdot^{+S}A_2\right)\left(x\cdot^{+S}B_1+y\cdot^{+S}B_2\right)\mathrel{|}\joinrel=xy\cdot^{+S}C_1+^{+S}C_2$ и читается:
" произведение двух любых форм $^{+S}\mathcal{F}\{x,y\} $ представляется формой $^{+S}\mathcal{F}\{xy,1\}$ "

Некоторые простые свойства:

1. $_{[x_1,x_2\cdots x_n]}^{\qquad\quad+S}P(x_1,x_2\cdots x_n)=^SP(x_1,x_2\cdots x_n)$

2. $_{[\{x_i\}]}^{\quad+S}P(x_1,x_2\cdots x_n)\mathrel{|}\joinrel=^{+S}P(x_1,x_2\cdots x_n)$

3. $^{+S}\mathcal{F}\{1,1\}\mathrel{|}\joinrel=^{+S}\mathcal{F}\{1\}+^{+S}\mathcal{F}\{1\}\mathrel{|}\joinrel=^{+S}\mathcal{F}\{1\}$ т.е. всегда существует форма $^{+S}P_3$ такая, что $^{+S}P_1+^{+S}P_2\mathrel{|}\joinrel=^{+S}P_3$

4. $^{+S}\mathcal{F}\{1\}\cdot^{+S}\mathcal{F}\{1\}\mathrel{|}\joinrel=^{+S}\mathcal{F}\{1\}$ т.е. всегда существует форма $^{+S}P_3$ такая, что $^{+S}P_1\cdot^{+S}P_2\mathrel{|}\joinrel=^{+S}P_3$

5. $\frac{^{+S}\mathcal{F}\{1\}}{^{+S}\mathcal{F}\{1\}}\mathrel{|}\joinrel=^{+S}\mathcal{F}\{1\}$

6. пусть форма $^{+S}\mathcal{F}\{1\}$ представляет некоторую рациональную функцию переменных $x,\cdots$, тогда:
$^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{+S}_{[x]}\mathcal{F}\{x,1\}$

7. пусть форма $^{+S}\mathcal{F}\{1\}$ представляет некоторую рациональную функцию переменных $x,y,\cdots$, тогда:
$^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{\ +S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{xy,x,y,1\}$

8. пусть форма $^{+S}\mathcal{F}\{1\}$ представляет некоторую рациональную функцию переменных $x,y,z,\cdots$, тогда:
$^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{\quad+S}_{[x,y,z]}\mathcal{F}\{xyz,xy,yx,xz,x,y,z,1\}$

Пример использования форм:
Дан многочлен $P(x,y,z)$ такой, что многочлены
$$
\begin{cases}
P(x,x+y,x+y+z)\\
P(x+y+z,y+z,z)\\
P(x,x+y+z,x+z)\\
P(x+y+z,y,y+z)\\
P(x+y,y,x+y+z)\\
P(x+z,x+y+z,z)
\end{cases}
$$ не имеют отрицательных коэффициентов. Доказать, что $P=^{+S}P$


Имеем:
$$
\begin{cases}
P(x,x+y,x+y+z)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{\ +S}_{[y,z]}\mathcal{F}\{yz,y,z,1\}\\
P(x+y+z,y+z,z)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{\ +S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{xy,x,y,1\}\\
P(x,x+y+z,x+z)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{\ +S}_{[y,z]}\mathcal{F}\{yz,y,z,1\}\\
P(x+y+z,y,y+z)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{\ +S}_{[x,z]}\mathcal{F}\{xz,x,z,1\}\\
P(x+y,y,x+y+z)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{\ +S}_{[x,z]}\mathcal{F}\{xz,x,z,1\}\\
P(x+z,x+y+z,z)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{\ +S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{xy,x,y,1\}
\end{cases}
$$
откуда
$$
\begin{cases}
P=^{\ +S}_{[y,z]}\mathcal{F}\{(y-x)(z-y),(y-x),(z-y),1\}=^{\ +S}_{[y,z]}\mathcal{F}\{(x-y)(y-z),1\}-^{\ +S}_{[y,z]}\mathcal{F}\{(x-y),(y-z)\}\\
P=^{\ +S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{(x-y)(y-z),(x-y),(y-z),1\}=^{\ +S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{(x-y)(y-z),1\}+^{\ +S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{(x-y),(y-z)\}\\
P=^{\ +S}_{[y,z]}\mathcal{F}\{(y-z)(z-x),(y-z),(z-x),1\}=^{\ +S}_{[y,z]}\mathcal{F}\{(y-z)(z-x),1\}+^{\ +S}_{[y,z]}\mathcal{F}\{(y-z),(z-x)\}\\
P=^{\ +S}_{[x,z]}\mathcal{F}\{(x-z)(z-y),(x-z),(z-y),1\}=^{\ +S}_{[x,z]}\mathcal{F}\{(y-z)(z-x),1\}-^{\ +S}_{[x,z]}\mathcal{F}\{(y-z),(z-x)\}\\
P=^{\ +S}_{[x,z]}\mathcal{F}\{(x-y)(z-x),(x-y),(z-x),1\}=^{\ +S}_{[x,z]}\mathcal{F}\{(x-y)(z-x),1\}+^{\ +S}_{[x,z]}\mathcal{F}\{(x-y),(z-x)\}\\
P=^{\ +S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{(x-z)(y-x),(x-z),(y-x),1\}=^{\ +S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{(x-y)(z-x),1\}-^{\ +S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{(x-y),(z-x)\}
\end{cases}
$$
далее, учитывая что:

1. $^{\ +S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{\cdots\}\mathrel{|}\joinrel=^{+S}\mathcal{F}\{\cdots\}$

2. $^{+S}\mathcal{F}\{xy,1\}\cdot^{+S}\mathcal{F}\{xy,1\}\mathrel{|}\joinrel=^{+S}\mathcal{F}\{xy,1\}$

3. $^{+S}\mathcal{F}\{xy,1\}+^{+S}\mathcal{F}\{xy,1\}\mathrel{|}\joinrel=^{+S}\mathcal{F}\{xy,1\}$

4. $^{+S}\mathcal{F}\{x,y\}\cdot^{+S}\mathcal{F}\{x,y\}\mathrel{|}\joinrel=^{+S}\mathcal{F}\{xy,1\}$

из первых двух равенств системы (перенеся 1-е слагаемое влево и перемножив) имеем:
$$P^2-P\cdot ^{+S}\mathcal{F}\{(x-y)(y-z),1\}+^{+S}\mathcal{F}\{(x-y)(y-z),1\}=-^{+S}\mathcal{F}\{(x-y)(y-z),1\}$$
отсюда:
$P=^{+S}\mathcal{F}\{(x-y)(y-z),1\}=^{+S}\mathcal{F}\{(x-y)(y-z)\}+^{+S}\mathcal{F}\{1\}$ или

$P-^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{+S}\mathcal{F}\{(x-y)(y-z)\}$ аналогично, из (3,4) и (5,6) равенств системы получаем
$P-^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{+S}\mathcal{F}\{(y-z)(z-x)\}$
$P-^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{+S}\mathcal{F}\{(z-x)(x-y)\}$

перемножив эти три равенства, получим:
$P^3-P^2\cdot^{+S}\mathcal{F}\{1\}+P\cdot^{+S}\mathcal{F}\{1\}-^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{+S}\mathcal{F}\{1\}$, откуда, окончательно:

$P=\frac{P^2\cdot^{+S}\mathcal{F}\{1\}+^{+S}\mathcal{F}\{1\}+^{+S}\mathcal{F}\{1\}}{P^2+^{+S}\mathcal{F}\{1\}}=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{+S}P$

Ч.Т.Д.

Такое доказательство, очевидно, конструктивно. Так, для многочлена $P=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$ построение дает:

$P=\frac{2P^2\left((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right)+(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2+\left((x-y)^2+(y-z)^2\right)\left((y-z)^2+(z-x)^2\right)\left((z-x)^2+(x-y)^2\right)}{P^2+3\left((x-y)^2(y-z)^2+(y-z)^2(z-x)^2+(z-x)^2(x-y)^2\right)+(x-y)^4+(y-z)^4+(z-x)^4}$

Далее приступим к решению 17-й проблемы Гильберта для одной переменной.

-- 19.08.2022, 11:16 --

Схема решения:
1. Показываем, что для построения формы $SOS$ достаточно уметь строить форму $SOS^+$ для многочленов, неотрицательных на $x\geq0$.
2. Показываем, что для построения формы $SOS^+$ достаточно уметь строить форму $^{+S}\mathcal{F}\{1-x,1\}$ для многочленов, неотрицательных на единичном отрезке $0\leq x\leq1$.
3. Разбиваем единичный отрезок на несколько отрезков таким образом, что построение формы $^S\mathcal{F}\{(b-x)(x-a),1\}$ на каждом из них тривиально ($a,b$ ─ концы выбранного отрезка).
4. "Склеиваем" получившиеся в 3. формы в форму $^{+S}\mathcal{F}\{1-x,1\}$, что завершает решение проблемы.

1. Итак, пусть мы умеем строить форму $SOS^+$ для любых многочленов, неотрицательных на $x\geq0$. Тогда, для многочлена $P(x)\geq0$ на $x \in \mathbb{R}$ имеем:

$\begin{cases}
P(x)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^S\mathcal{F}\{x,1\}=x\cdot^S\mathcal{F}\{1\}+^S\mathcal{F}\{1\}\\
P(-x)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^S\mathcal{F}\{x,1\}=x\cdot^S\mathcal{F}\{1\}+^S\mathcal{F}\{1\}
\end{cases}\Rightarrow$$\begin{cases}
P-^S\mathcal{F}\{1\}=x\cdot^S\mathcal{F}\{1\}\\
P-^S\mathcal{F}\{1\}=-x\cdot^S\mathcal{F}\{1\}
\end{cases}\Rightarrow$

$P^2-P\cdot^S\mathcal{F}\{1\}+^S\mathcal{F}\{1\}=-^S\mathcal{F}\{1\}\Rightarrow$

$P=\frac{P^2+^S\mathcal{F}\{1\}+^S\mathcal{F}\{1\}}{^S\mathcal{F}\{1\}}=^SP$

2. Пусть мы умеем строить форму $SOS^+$ для любых многочленов, неотрицательных на единичном отрезке $0\leq x\leq1$. Тогда, для многочлена $P(x)\geq0$ при $x\geq0$ имеем:

$\begin{cases}
P(x)=^{+S}\mathcal{F}\{1-x,1\}=(1-x)\cdot^{+S}\mathcal{F}\{1\}+^{+S}\mathcal{F}\{1\}\\
x^{deg(P)}P\left(\frac1x\right)=^{+S}\mathcal{F}\{1-x,1\}=(1-x)\cdot^{+S}\mathcal{F}\{1\}+^{+S}\mathcal{F}\{1\}
\end{cases}\Rightarrow$

$\Rightarrow\begin{cases}
P=(1-x)\cdot^{+S}\mathcal{F}\{1\}+^{+S}\mathcal{F}\{1\}\\
P=-(1-x)\cdot^{+S}\mathcal{F}\{1\}+^{+S}\mathcal{F}\{1\}
\end{cases}$

откуда, аналогично 1. получаем $P=^{+S}P$

3. Разбиение единичного отрезка для многочлена $P(x)\geq0$ на $0\leq x\leq1$.

Теорема 3.1
Пусть $0\leq a<b$, а многочлен $P(x)$ такой, что $P(a)\geq0$, $P(b)\geq0$, $P^{(k)}(a)P^{(k)}(b)\geq0$ для $k\in \mathbb{N}$. Тогда многочлен $(x+1)^{deg(P)}P\left(a+\frac{b-a}{1+x}\right)$ не имеет отрицательных коэффициентов.

Доказательство:
Покажем, что достаточно рассмотреть случай $a=0$, $b=1$.
Рассмотрим многочлен $P_0(x)=P\left(x(b-a)+a\right)$. Имеем:

$P_0(0)=P(a)\geq0$, $P_0(1)=P(b)\geq0$,

$P_0^{(k)}(0)P_0^{(k)}(1)=(b-a)^{2k}P^{(k)}(a)P^{(k)}(b)\geq0$ и т.о. многочлен $P_0(x)$ удовлетворяет условиям теоремы при $a=0$, $b=1$.

Но $(x+1)^{deg(P)}P\left(a+\frac{b-a}{1+x}\right)=(x+1)^{deg(P)}P_0\left(\frac{1}{1+x}\right)$.

Поэтому достаточно доказать, что $(x+1)^{deg(P)}P_0\left(\frac{1}{1+x}\right)$ не имеет отрицательных коэффициентов. Вот доказательство TOTAL, которое существенно короче моего.


Отметим на единичном отрезке концы этого отрезка $[0;1]$, действительные корни многочлена $P$ и всех его производных, которые попадают в этот отрезок (совпадающие точки рассматриваются как одна). Получим таким образом последовательность $0=a_0<a_1<...<a_n=1$. Очевидно, что в этой последовательности для любых соседних точек выполняются условия Теоремы 3.1, а значит $(x+1)^{deg(P)}P\left(a_k+\frac{a_{k+1}-a_k}{1+x}\right)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^S\mathcal{F}\{x,1\}\Rightarrow$

$\Rightarrow P=^S\mathcal{F}\{(a_{k+1}-x)(x-a_k),1\}$

4. Склейка

Из 3. имеем систему по всем $0\leq k\leq n-1$

$P=^S\mathcal{F}\{(a_{k+1}-x)(x-a_k),1\}=(a_{k+1}-x)(x-a_k)\cdot ^S\mathcal{F}\{1\}+^S\mathcal{F}\{1\}\Rightarrow$

$\Rightarrow P-^S\mathcal{F}\{1\}=(a_{k+1}-x)(x-a_k)\cdot ^S\mathcal{F}\{1\}$

Перемножив все эти равенства получим:

$P^n+\sum\limits_{i=1}^n{^S\mathcal{F}\{1\}(-1)^iP^{n-i}}=(-1)^{n-1}x(1-x)\cdot^S\mathcal{F}\{1\}$

Если $n=2m$ то:
$P^{2m}+\sum\limits_{i=1}^{2m}{^S\mathcal{F}\{1\}(-1)^iP^{2m-i}}+x(1-x)\cdot^S\mathcal{F}\{1\}=0\Rightarrow$

$\Rightarrow P^{2m}+\sum\limits_{i=1}^m{^S\mathcal{F}\{1\}P^{2(m-i)}}+x(1-x)\cdot^S\mathcal{F}\{1\}=\sum\limits_{i=1}^m{^S\mathcal{F}\{1\}P^{2(m-i)+1}} \Rightarrow$

$P=\frac{P^{2m}+\sum\limits_{i=1}^m{^S\mathcal{F}\{1\}P^{2(m-i)}}+x(1-x)\cdot^S\mathcal{F}\{1\}}{\sum\limits_{i=1}^m{^S\mathcal{F}\{1\}P^{2(m-i)}}}=^S\mathcal{F}\{x(1-x),1\}=^{+S}\mathcal{F}\{1-x,1\}$

Если $n=2m+1$ то:
$P^{2m+1}+\sum\limits_{i=1}^{2m+1}{^S\mathcal{F}\{1\}(-1)^iP^{2m+1-i}}=x(1-x)\cdot^S\mathcal{F}\{1\}\Rightarrow$

$\Rightarrow  P^{2m+1}+\sum\limits_{i=1}^m{^S\mathcal{F}\{1\}P^{2(m-i)+1}}=x(1-x)\cdot^S\mathcal{F}\{1\}+\sum\limits_{i=0}^m{^S\mathcal{F}\{1\}P^{2(m-i)}}\Rightarrow$

$\Rightarrow P=\frac{x(1-x)\cdot^S\mathcal{F}\{1\}+\sum\limits_{i=0}^m{^S\mathcal{F}\{1\}P^{2(m-i)}}}{P^{2m}+\sum\limits_{i=1}^m{^S\mathcal{F}\{1\}P^{2(m-i)}}}=^S\mathcal{F}\{x(1-x),1\}=^{+S}\mathcal{F}\{1-x,1\}$

что завершает построение формы $SOS^+$ на единичном отрезке, а значит и формы $SOS$ в целом. Отметим, что коэффициенты построенной таким образом формы выражаются рационально через коэффициенты заданного многочлена, его действительные корни и действительные корни его производных.

 Профиль  
                  
 
 Re: 17-я проблема Гильберта
Сообщение23.08.2022, 10:17 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
Две и более переменных.

1. Сведение задачи получения формы $SOS$ к нахождению формы $SOS^+$.

Пусть $^+Q(x,y)\mathrel{|}\joinrel=^{+S}\mathcal{F}\{1\}$ ( любая неотрицательная на $x,y\geq0$ рациональная функция $Q(x,y)$ представима в форме $^{+S}\mathcal{F}\{1\}$ ). Тогда, если $P(x,y)$ ─ неотрицательный многочлен на $x,y \in \mathbb{R}$, то:

$\begin{cases}
P(x,y)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{\quad S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{xy,x,y,1\}=^S\mathcal{F}\{xy,x,y,1\}\\
P(x,-y)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{\quad S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{xy,x,y,1\}=^S\mathcal{F}\{xy,x,y,1\}\\
P(-x,y)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{\quad S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{xy,x,y,1\}=^S\mathcal{F}\{xy,x,y,1\}\\
P(-x,-y)=^{+S}\mathcal{F}\{1\}=^{\quad S}_{[x,y]}\mathcal{F}\{xy,x,y,1\}=^S\mathcal{F}\{xy,x,y,1\}
\end{cases} \Rightarrow $

$ \Rightarrow \begin{cases}
P=^S\mathcal{F}\{xy,x,y,1\}=y\cdot ^S\mathcal{F}\{x, 1\}+^S\mathcal{F}\{x, 1\}\\
P=^S\mathcal{F}\{-xy,x,-y,1\}=-y\cdot ^S\mathcal{F}\{x, 1\}+^S\mathcal{F}\{x, 1\}\\
P=^S\mathcal{F}\{-xy,-x,y,1\}=y\cdot ^S\mathcal{F}\{-x, 1\}+^S\mathcal{F}\{-x, 1\}\\
P=^S\mathcal{F}\{xy,-x,-y,1\}=-y\cdot ^S\mathcal{F}\{-x, 1\}+^S\mathcal{F}\{-x, 1\}
\end{cases}$

Из первых двух равенств имеем:

$\left( P-^S\mathcal{F}\{x, 1\} \right)\left( P-^S\mathcal{F}\{x, 1\} \right)=-^S\mathcal{F}\{x, 1\} $, откуда

$P=^S\mathcal{F}\{x, 1\}$, аналогично, из вторых двух равенств:
$P=^S\mathcal{F}\{-x, 1\}$ и т.о. все свелось к п.1 решения проблемы для одной переменной.

Точно так же, в случае $n$ переменных можно свести задачу к $n-1$ переменной. Покажем это на примере четырех переменных:

Дан неотрицательный многочлен $P(x,y,z,t)$. Сведем задачу построения формы $SOS$ к задаче для трех переменных:
Аналогично решению для двух переменных, имеем систему из $2^4$ равенств:

$\begin{cases}
P=^S\mathcal{F}\{xyzt,xyz,xyt,xzt,yzt,xy,xz,xt,yz,yt,zt,x,y,z,t,1\}\\
P=^S\mathcal{F}\{-xyzt,xyz,-xyt,-xzt,-yzt,xy,xz,-xt,yz,-yt,-zt,x,y,z,-t,1\}\\
\cdots\\
P=^S\mathcal{F}\{-xyzt,-xyz,xyt,xzt,yzt,xy,xz,-xt,yz,-yt,-zt,-x,-y,-z,t,1\}\\
P=^S\mathcal{F}\{xyzt,-xyz,-xyt,-xzt,-yzt,xy,xz,xt,yz,yt,zt,-x,-y,-z,-t,1\}
\end{cases}$

в этой системе равенства разбиты по парам так, что если первое равенство пары содержит $(x,y,z,t)$, то второе равенство пары содержит $(x,y,z,-t)$ (очевидно, что такое разбиение всегда возможно, поскольку система содержит все возможные наборы $(\pm x,\pm y,\pm z,\pm t,)$ ). Теперь "исключаем" переменную $t$ из каждой пары равенств точно так же, как и в случае двух переменных. Так, для первой пары имеем:

$\begin{cases}
P=t\cdot^S\mathcal{F}\{xyz,xy,xz,yz,x,y,z,1\}+^S\mathcal{F}\{xyz,xy,xz,yz,x,y,z,1\}\\
P=-t\cdot^S\mathcal{F}\{xyz,xy,xz,yz,x,y,z,1\}+^S\mathcal{F}\{xyz,xy,xz,yz,x,y,z,1\}
\end{cases} \Rightarrow $

$\Rightarrow\left(P-^S\mathcal{F}\{xyz,xy,xz,yz,x,y,z,1\} \right)\left(P-^S\mathcal{F}\{xyz,xy,xz,yz,x,y,z,1\} \right)=-^S\mathcal{F}\{xyz,xy,xz,yz,x,y,z,1\}\Rightarrow$

$\Rightarrow P=^S\mathcal{F}\{xyz,xy,xz,yz,x,y,z,1\}$. Из остальных пар получим аналогичные представления при всех возможных наборах $(\pm x,\pm y,\pm z)$, что и будет условием задачи для трех переменных.

 Профиль  
                  
 
 Re: 17-я проблема Гильберта
Сообщение23.08.2022, 12:09 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
2. Сведение задачи получения формы $SOS^+$ к нахождению формы в единичном гиперкубе.

Как и в п.1 разберем случай для двух переменных, после чего станут ясны и случаи большей размерности.
Итак, пусть мы умеем строить форму $^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(1-y), (1-x), (1-y), 1\}$ для любых многочленов, неотрицательных в квадрате $0\leq x,y\leq 1$. Тогда если $P(x,y)$ ─ многочлен, неотрицательный на $x,y\geq0$, то:

$\begin{cases}
P(x,y)=^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(1-y), (1-x), (1-y), 1\}\\
P\left(x,\frac1y\right)=^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(1-y), (1-x), (1-y), 1\}\\
P\left(\frac1x,y\right)=^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(1-y), (1-x), (1-y), 1\}\\
P\left(\frac1x,\frac1y\right)=^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(1-y), (1-x), (1-y), 1\}
\end{cases} \Rightarrow$

$\Rightarrow\begin{cases}
P=^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(1-y), (1-x), (1-y), 1\}=(1-y)\cdot^{+S}\mathcal{F}\{(1-x), 1\}+^{+S}\mathcal{F}\{(1-x), 1\}\\
P=^{+S}\mathcal{F}\{-(1-x)(1-y), (1-x), -(1-y), 1\}=-(1-y)\cdot^{+S}\mathcal{F}\{(1-x), 1\}+^{+S}\mathcal{F}\{(1-x), 1\}\\
P=^{+S}\mathcal{F}\{-(1-x)(1-y), -(1-x), (1-y), 1\}=(1-y)\cdot^{+S}\mathcal{F}\{-(1-x), 1\}+^{+S}\mathcal{F}\{-(1-x), 1\}\\
P=^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(1-y), -(1-x), -(1-y), 1\}=-(1-y)\cdot^{+S}\mathcal{F}\{-(1-x), 1\}+^{+S}\mathcal{F}\{-(1-x), 1\}
\end{cases}$

откуда, таким же образом как и в п.1 получаем сведение к п.2 задачи для одной переменной:

$\begin{cases}
P=^{+S}\mathcal{F}\{(1-x), 1\}\\
P=^{+S}\mathcal{F}\{-(1-x), 1\}
\end{cases}$

Случай для $n$ переменных полностью аналогичен п.1, с той лишь поправкой, что вместо наборов $(\pm x, \pm y, \pm z, ...)$ рассматриваются наборы $(\pm (1-x), \pm (1-y), \pm (1-z), ...)$.

(очепятка)

*В первом посте темы вместо:
Rak so dna в сообщении #1563118 писал(а):
2. Пусть мы умеем строить форму $SOS^+$ для любых многочленов, неотрицательных на единичном отрезке $0\leq x\leq1$.
нужно, конечно же:
"2. Пусть мы умеем строить форму $^{+S}\mathcal{F}\{(1-x), 1\}$ для любых многочленов, неотрицательных на единичном отрезке $0\leq x\leq1$."

Т.о. показано, что форму $SOS$ (а значит и сумму квадратов рациональных функций) для любых неотрицательных многочленов можно построить, рассматривая лишь единичные области многочленов (отрезок, квадрат, куб или гиперкуб).

 Профиль  
                  
 
 Re: 17-я проблема Гильберта
Сообщение30.08.2022, 12:43 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
3. Теперь покажем, как построить форму $^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(1-y),1-x,1-y,1\}$ для неотрицательных на $0\leq x,y \leq 1$ многочленов на примере многочлена Моцкина $M(x,y)=x^2y^2\left(x^2+y^2-3\right)+1$
Итак, будем строить форму $SOS$ для многочлена $M(x,y)$. Как показано в п.1. достаточно построить формы $SOS^+$ для многочленов $M(x,y),M(-x,y),M(x,-y),M(-x,-y)$. Поскольку $M(x,y)=M(-x,y)=M(x,-y)=M(-x,-y)$ то достаточно построить форму $SOS^+$ лишь для $M(x,y)$. Для этого, как показано в п.2. достаточно построить формы $^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(1-y),1-x,1-y,1\}$ для многочленов $M(x,y),x^4M\left(\frac1x,y \right),y^4M\left(x,\frac1y \right),x^4y^4M\left(\frac1x,\frac1y \right)$:

3.1. Для многочлена $M(x,y)$ требуемая форма строится обратными подстановками непосредственно из рациональной функции $M\left(\frac{1}{1+x},\frac{1}{1+y}\right)$, поскольку она не имеет отрицательных коэффициентов:

$M\left(\frac{1}{1+x},\frac{1}{1+y}\right)=\frac{(x+1)^4y^4+4(x+1)^4y^3+(6x^4+24x^3+33x^2+18x+4)y^2+(4x^4+16x^3+18x^2+4x)y+x^2(x+2)^2}{(1+x)^4(1+y)^4} \Rightarrow$

$M(x,y)=$
$(1-x)(1-y)\left(y^3(16(1-x)^2x+4x^3)\right)+$
$+(1-x)\left((24(1-x)^2x+18x^3)y^2(1-y)^2+4(1-x)^2xy^4\right)+$
$+(1-y)\left(4y(1-y)^2+(4(1-x)^4+18(1-x)^2x^2)y^3\right)+$
$+\left((1-y)^4+(6(1-x)^4+33(1-x)^2x^2+4x^4)y^2(1-y)^2+((1-x)^4+4(1-x)^2x^2)y^4\right)$

3.2. Для многочлена $x^4y^4M\left(\frac1x,\frac1y \right)$ требуемая форма строится обратными подстановками непосредственно из многочлена $M(1+x,1+y)$, поскольку он не имеет отрицательных коэффициентов:

$M(x+1,y+1)=(x^2+2x+1)y^4+(4x^2+8x+4)y^3+(x^4+4x^3+9x^2+10x+4)y^2+(2x^4+8x^3+10x^2+4x)y+x^4+4x^3+4x^2 \Rightarrow$

$x^4y^4M\left(\frac1x,\frac1y \right)=$
$(1-x)(1-y)\left(xy(8(1-y)^2x^2+8(1-x)^2y^2+4x^2y^2)\right) +$
$+ (1-x)\left(x(2x^2(1-y)^4+y^2(4(1-x)^2+10x^2)(1-y)^2+4y^4(1-x)^2)\right) +$
$+ (1-y)\left(y((4(1-x)^2+4x^2)x^2(1-y)^2+2(1-x)^4y^2+10x^2y^2(1-x)^2)\right) +$
$+ \left(x^2((1-x)^2+x^2)(1-y)^4+y^2((1-x)^4+9x^2(1-x)^2+4x^4)(1-y)^2+y^4(1-x)^4+4x^2y^4(1-x)^2\right) $

3.3. Ввиду симметрии $M(x,y)=M(y,x)$, для многочленов $x^4M\left(\frac1x,y \right),y^4M\left(x,\frac1y \right)$ достаточно построить требуемую форму только для одного из них, пускай это будет $f(x,y)=y^4M\left(x,\frac1y \right)$. В отличие от 3.1 и 3.2 попытка получить многочлен с неотрицательными коэффициентами подстановкой $M\left(\frac{1}{1+x},1+y\right)$ не удастся. Поступим следующим образом: разрежем квадрат $(0\leq x,y \leq 1)$ на две области прямой $y=a=4/5$. Область $(0\leq x \leq 1; a\leq y \leq 1)$ разрежем на две области прямой $x=a=4/5$. Получим три области (Рис.1):
I - $(0\leq x \leq a; a\leq y \leq 1)$,
II - $(0\leq x \leq 1; 0\leq y \leq a)$,
III - $(a\leq x \leq 1; a\leq y \leq 1)$.
Дальнейшая идея в следующем: построить для каждой из областей некоторую свою форму $^{+S}\mathcal{F}$ и склеить все в требуемую форму.

3.3.1 Для I -й области имеем:

$f\left(\frac{a}{1+x}, a+\frac{1-a}{1+y}\right)=^{+S}\mathcal{F}\{1\} \Rightarrow$

$f=^{+S}\mathcal{F}\{(a-x)(1-y)(y-a),a-x,(1-y)(y-a),1\}$

3.3.2 Для II -й области имеем:

$f\left(\frac{1}{1+x}, \frac{a}{1+y}\right)=$

$=\frac{625(x+1)^2y^4+2500(x+1)^2y^3+50(51x^2+102x+59)y^2+100(x^2+2x+9)y+(256x^4+1024x^3+814x^2+3(7x-3)^2+54)}{625(1+x)^4(1+y)^4}=$

$=^{+S}\mathcal{F}\{1\} \Rightarrow$

$\Rightarrow f=^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(a-y),1-x,a-y,1\}$

Изображение

3.3.3 Для III-й области будет продемонстрирована идея, дающая гарантированное построение формы. (в предыдущих случаях 3.3.1, 3.3.2 текущая идея не применялась, поскольку мне хотелось показать её для области, где непосредственные подстановки не сработают - а это, как и следовало ожидать от многочленов - окрестности корней как самого многочлена, так и его производных)
Итак, непосредственная подстановка для III-й области: $f\left(a+\frac{1-a}{1+x}, a+\frac{1-a}{1+y}\right)$ не срабатывает. Пусть $f_{\gamma}(x,y)=(y+\gamma)f(x,y)$. Для всех $k \in \mathbb{N}$ рассмотрим кривые $y_{k,\gamma}(x)$, заданные уравнениями $\left(f_{\gamma}\right)^{(k)}_y=0$ при $\gamma=0$ (Рис.1 синий цвет) и $\gamma=1$ (Рис.1 зеленый цвет). В III-область попали лишь кривые, заданные уравнениями с $k=1$. Проведем рациональную кривую $y=S(x)$ так, чтобы для $a\leq x \leq 1$ выполнялось $y_{1,0}(x) \leq S(x) \leq y_{1,1}(x)$. В данном случае достаточно $S(x)=1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{37}{32}(x-1)^2-\frac{315}{384}(x-1)^3$ (разложили $y_{1,0}(x),y_{1,1}(x)$ в ряд Тейлора в точке $x=1$ до 3-й производной и взяли среднее). Теперь, по Теореме 3.1 многочлен $(1+y)^5 f_1\left(x,  a+\frac{S(x)-a}{1+y}\right)$ не имеет на $a\leq x \leq 1$ отрицательных коэффициентов. Это означает, что каждый его коэффициент может быть представлен формой $^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(x-a),1\}$, поэтому он сам (а следовательно и $f$) представляется формой $^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(x-a)(S(x)-y)(y-a),(1-x)(x-a),(S(x)-y)(y-a),1\}$. Точно так же, по Теореме 3.1, многочлен $(1+y)^5 f_0\left(x,  S(x)+\frac{1-S(x)}{1+y}\right)$ не имеет на $a\leq x \leq 1$ отрицательных коэффициентов, поэтому он сам (а следовательно и $f$) представляется формой $^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(x-a)(1-y)(y-S(x)),(1-x)(x-a),(1-y)(y-S(x)),1\}$. Итак:

$\begin{cases}
f=^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(x-a)(S(x)-y)(y-a),(1-x)(x-a),(S(x)-y)(y-a),1\}\\
f=^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(x-a)(1-y)(y-S(x)),(1-x)(x-a),(1-y)(y-S(x)),1\}
\end{cases} \Rightarrow $

$\begin{cases}
f=(S(x)-y)(y-a)\cdot ^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(x-a),1\}+^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(x-a),1\}\\
f=(1-y)(y-S(x))\cdot ^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(x-a),1\}+^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(x-a),1\}
\end{cases} \Rightarrow $

$f=(1-y)(y-a)\cdot ^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(x-a),1\}+^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(x-a),1\}=$

$=^{+S}\mathcal{F}\{(1-x)(x-a)(1-y)(y-a),(1-x)(x-a),(1-y)(y-a),1\}$.

Т.о. для III-й области произведена склейка по рациональной кривой $y=S(x)$.

3.4 осталось склеить формы I- и III-области по прямой $x=a$ а затем получившуюся форму с формой II-области по прямой $y=a$.


В п.3.3.3 реализована следующая идея:
Рассматриваем многочлен двух переменных $f(x,y)$ как многочлен одной переменной $y$ с коэффициентами - многочленами от $x$. Тогда, если мы отметим на плоскости все линии $f^{(k)}_y=0$, то к любой области плоскости, не содержащей внутри себя этих линий или их частей (однако, и это важно, граница такой области может являться частью линий $f^{(k)}_y=0$), можно применить Теорему 3.1. Т.е. если кусок плоскости, ограниченный линиями $x=x_0, x=x_1, y=a(x), y=b(x)$, где $x_1>x_0$, а $b(x)\geq a(x)$ - рациональные функции, не содержит внутри своей границы частей линий $f^{(k)}_y=0$, то многочлен $P(y)=(1+y)^{deg(f_y)}f\left(x,a(x)+\frac{b(x)-a(x)}{1+y}\right)$ не имеет отрицательных коэффициентов на $x_0\leq x\leq x_1$.
Т.о. если удастся разрезать единичную область рациональными линиями на области, не содержащие линий нулей производных, то удастся и построить нужную форму для этой единичной области. Проблема в том, что в общем случае функции $y(x)$ заданные уравнениями $f^{(k)}_y=0$ не являются рациональными. Поэтому (как в примере), поступаем следующим образом:
- домножаем многочлен $f(x,y)$ на некоторый многочлен $^+g_{\gamma}(x,y)$, где $\gamma$ - неотрицательный параметр: $P_{\gamma}=^+g_{\gamma}(x,y)f(x,y)$
- путем "шевеления" параметра, добиваемся "шевеления" линий нулей производных $\left(P_{\gamma}\right)^{(k)}_y=0$ (на Рис.1 это синяя и зеленая линии, при значении параметра $0$ и $1$ соответственно)
- проводим между этими линиями некоторую рациональную линию (на Рис.1 это $y=S(x)$), которая разрежет нашу область на две (обозначим их по параметрам линий, в них содержащихся $\gamma_0,\gamma_1$).
- для области $\gamma_0$ применяем Теорему 3.1 к многочлену $P_{\gamma_1}$
- для области $\gamma_1$ применяем Теорему 3.1 к многочлену $P_{\gamma_0}$
- склеиваем получившиеся формы по рациональной линии.

(Оффтоп)

Думаю, стоит описать эту схему, примененную более чем к одной линии нулей производных, проходящих через корень многочлена, подробно в следующих сообщениях.

Данную процедуру (с некоторыми уточнениями, о которых позже) можно применять для любой достаточно малой окрестности любой точки единичного квадрата в том случае, если линии нулей производных не являются корнями многочлена, т.к. в этом случае "пошевелить" их путем "шевеления" параметра не получится. Однако для многочлена двух переменных это не проблема, т.к. если $P(x,y)\geq 0$ то $P=R^2\cdot Q$, где $Q$ - неотрицательный многочлен, обнуляемый лишь конечным числом точек. Ну а в окрестности каждой такой точки процедура применима для такого многочлена $Q$, а значит он представим формой $SOS$.

 Профиль  
                  
 
 Re: 17-я проблема Гильберта
Сообщение02.09.2022, 17:17 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
Реализуем идею п.3.3.3 для нескольких линий, проходящих через корень.
Итак, пусть $P(x,y)$ - неотрицательный многочлен, с корнем $(x_1;y_1)$. Домножим его на некий неотрицательный многочлен, коэффициенты которого зависят от параметра $\gamma$, такой, что у полученного многочлена $f_{\gamma}(x,y)$ все корни всех производных $\left(f_{\gamma}\right)^{(k)}_y$, не являющиеся корнями многочлена $P$, зависят от $\gamma$. Иными словами, "шевеление" параметра $\gamma$ приведет к "шевелению" линий корней производных, заданных уравнениями $\left(f_{\gamma}\right)^{(k)}_y=0$. Пускай теперь через точку $(x_1;y_1)$ пройдут две линии, заданные уравнениями $\left(f_{\gamma}\right)'_y=0,\left(f_{\gamma}\right)''_y=0$. Пошевелим их параметрами $\gamma_1\ne \gamma_2$ и попарно "разрежем" линиями $y=S_i(x)$ ($S_i$ - рациональные функции) в достаточно малой окрестности точки $(x_1;y_1)$ (Рис.2).
Изображение
Теперь, выбрав произвольное направление обхода (например, против часовой), начнем склейку:
1 - область между линиями $x=x_1,y=y_2,y=S_3(x)$
2 - область между линиями $x=x_0,y=S_3(x),y=S_4(x)$
3 - область между линиями $x=x_0,y=y_1,y=S_4(x)$
По Теореме 3.1 для 1, 2, 3 областей соответственно имеем:

$f_{\gamma_1}\left(x, S_3(x)+\frac{y_2-S_3(x)}{1+y}\right)=^{+S}\mathcal{F}\{(x_1-x)(x-x_0),1\}$

$f_{\gamma_1}\left(x, S_4(x)+\frac{S_3(x)-S_4(x)}{1+y}\right)=^{+S}\mathcal{F}\{(x_1-x)(x-x_0),1\}$

$f_{\gamma_2}\left(x, y_1+\frac{S_4(x)-y_1}{1+y}\right)=^{+S}\mathcal{F}\{(x_1-x)(x-x_0),1\}$

что, методами описанными выше, склеивается в форму:

$P=^{+S}\mathcal{F}\{(x_1-x)(x-x_0)(y_2-y)(y-y_1),(x_1-x)(x-x_0),(y_2-y)(y-y_1),1\}$

Таким же образом можно обойти точку $(x_1;y_1)$ полностью, причем совершенно ясно, что склейку можно провести для любого числа линий.

Теперь укажем достаточное условие для возможности "разрезания". Иными словами:
Пусть алгебраические линии $f(x,y)=0,g(x,y)=0$ пересекаются в точке $(x_1;y_1)$. Функции $y_f(x),y_g(x)$ задаются этими уравнениями в окрестности этой точки, для определенности будем считать $y_f(x)\leq y_g(x)$, при $x\leq x_1$, тогда при каких условиях существует рациональная функция $S(x)$, такая, что в окрестности точки $x_1$ выполняется $y_f(x)\leq S(x) \leq y_g(x)$, при $x\leq x_1$, причем равенство достигается только при $x=x_1$ ?
Требования аналитичности в точке $x_1$ функций $y_f(x),y_g(x)$ должно быть достаточно, т.к. в этом случае каждую из них можно заменить соответствующим рядом Тейлора в точке $x_1$. Тогда ряд, равный среднему арифметическому этих рядов, пройдет между линиями $f(x,y)=0,g(x,y)=0$ (в окрестности точки $(x_1;y_1)$), и можно взять в качестве $S(x)$ достаточно большое количество первых его членов.

Т.о., с некоторыми натяжками на строгость, удалось показать следующее:

Пусть $P(x,y)$ - неотрицательный многочлен, обнуляемый лишь конечным числом точек, такой, что если функция $y_k(x)$, заданная уравнением $P^{(k)}_y=0, k \in \mathbb{N}$, проходит через какую-то из этих точек, то она в ней аналитична. Тогда $P$ можно представить в виде суммы квадратов рациональных функций с действительными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: 17-я проблема Гильберта
Сообщение02.09.2022, 18:15 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 !  Rak so dna, дождитесь, пожалуйста, чей-нибудь реакции, не надо превращать тему в собственный блог.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group