2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Свойство многочлена
Сообщение12.06.2022, 09:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
617
so dna
Пусть $P(x)$ - неотрицательный в нуле многочлен такой, что $P^{(n)}(0)P^{(n)}(1)\geqslant0$ при всех $n=0,1,2,...$. Докажите, что многочлен $(1+x)^{deg(P)}P\left(\frac{1}{1+x}\right)$ не имеет отрицательных коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство многочлена
Сообщение13.06.2022, 13:49 
Аватара пользователя


07/01/16
1714
Аязьма
Попытка, довести до конца не хватает мощи. Пусть $\deg P=m, P(x)=\sum_{i=0}^mp_ix^i$. Нам известно, что $p_0\geqslant 0$ и что $p_n$ и $\sum_{i=n}^m\frac{i!}{(i-n)!}p_i$ - одного знака. А доказать требуется неотрицательность таких комбинаций: $Q^{(s)}(0)=\sum_{i=s}^m\frac{i!}{(i-s)!}p_{m-i}$. Теперь, если предположить, что какие-то из $p_j$ отрицательны, то совокупность условий неположительности $\sum_{i=j}^m\frac{i!}{(i-j)!}p_i$ для всех таких $j$ и отрицательности хотя бы одного из $Q^{(s)}(0)$, в расчет которого эти отрицательные $p_j$ входят, по всей видимости (тут дырка в рассуждении) приводят к тому, что модуль суммы отрицательных $p_j$ превышает сумму остальных $p_k$, взятых с весами не менее единицы каждый, и нарушается условие $P(1)\geqslant0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство многочлена
Сообщение13.06.2022, 18:21 
Заблокирован


16/04/18

1129
Попробовать посчитать все производные в нуле по формуле для произведения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство многочлена
Сообщение14.06.2022, 11:25 
Заслуженный участник


03/01/09
1720
москва
По-моему, нужно уточнить условие.
Пусть $P(x)=px, p<0$, тогда все условия выполнены, но $(1+x)P(\frac 1{1+x})=p<0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство многочлена
Сообщение14.06.2022, 16:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
617
so dna
mihiv да, всё верно, многочлен неотрицательный в нуле и единице.
Итак, пусть $P(x)$ - многочлен такой, что $P(0)\geqslant0$, $P(1)\geqslant0$, $P^{(n)}(0)P^{(n)}(1)\geqslant0$ при всех $n \in \mathbb{N}. Докажите, что многочлен $(1+x)^{deg(P)}P\left(\frac{1}{1+x}\right)$ не имеет отрицательных коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство многочлена
Сообщение16.08.2022, 06:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5525
Нов-ск
Утверждается, что при $k=0,1,2, \dots$ знак всех коэффициентов многочлена
$$Q_k(x)=(1+x)^{n-k}P^{(k)}\left(\frac{1}{1+x}\right), \;\; n=deg(P)$$
совпадает со знаком $P^{(k)}(0)$ и $P^{(k)}(1)$.

Докажем по индукции. Обозначим $\displaystyle Q_0(x)=\sum_{i=0}^n\alpha_i x^i, \;\; Q_1(x)=\sum_{i=0}^{n-1}\beta_ix^i$.
Равенство $\displaystyle (1+x)Q_0^{(1)}(x)=nQ_0(x)-Q_1(x)$ даёт связь между $\alpha_i$ и $\beta_i$, в частности
$$
\frac{n\alpha_{n-k}}{C_n^k}=n\alpha_0 - \sum_{i=k+1}^n\frac{\beta_{n-i}}{C_{n-1}^{i-1}} =
n\alpha_n + \sum_{i=1}^k\frac{\beta_{n-i}}{C_{n-1}^{i-1}}
$$
Предположив, что все $\beta_i$ одного знака, и учитывая, что $\alpha_0$ и $\alpha_n$ тоже одного знака (по условию), видим, что все $\alpha_i$ имеют тот же знак, что и знак $\alpha_0$ и $\alpha_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство многочлена
Сообщение16.08.2022, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
617
so dna
TOTAL вроде верно (проверил для $n=4$). Моё доказательство тоже элементарно, но технически сложнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Свойство многочлена
Сообщение17.08.2022, 08:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5525
Нов-ск
$$\displaystyle (1+x)Q_0^{(1)}(x)=nQ_0(x)-Q_1(x)$$
Можно вообще убрать выкладки, продифференцировав это соотношение (много раз), подставив $x=0$ и записав двумя способами:$$Q_0^{(k)}(0)=(n+1-k)Q_0^{(k-1)}(0)-Q_1^{(k-1)}(0)$$
$$Q_0^{(k)}(0)=\frac{1}{n-k}Q_0^{(k+1)}(0)+\frac{1}{n-k}Q_1^{(k)}(0)$$
Теперь просто используем выражение с плюсом (если $\beta_i$ и $\alpha_0$ и $\alpha_n$ одного знака) или выражение с минусом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group