Равномерная сходимость функционального ряда

[EzikBro]

Добрый день.
Я сейчас пытаюсь исследовать равномерную сходимость ряда $\sum\limits_{1}^{\infty} \frac{x \cdot (1 - nx^2)}{\sqrt{n} \cdot e ^ {nx^2}}$ на промежутке $(0; +\infty)$.
Как мне кажется, этот ряд на указанном промежутке равномерно сходится.
Чтобы это подтвердить, я хочу доказать равномерную сходимость рядов $\sum\limits_{1}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{n} \cdot e ^ {nx^2}}$ и $\sum\limits_{1}^{\infty} \frac{n x ^ 3}{\sqrt{n} \cdot e ^ {nx^2}}$, а потом сказать, что изначальный ряд сходится равномерно, так как является их суммой.
Но я смог доказать равномерную сходимость этих рядов только на промежутке $[1; +\infty)$, а на интервале $(0; 1)$ у меня возникают проблемы.
Первый мой вопрос связан с тем, могу ли я отдельно доказать сходимость на $(0; 1]$ и на $[1; +\infty)$, а потом сделать вывод, что ряд сходится равномерно на $(0; +\infty)$?
Я предположил, что да, и решил доказывать с помощью признака сравнения: $\frac{nx^3}{\sqrt{n}e^{nx^2}} \leqslant \frac{\sqrt{n}}{e^{nx^2}}$, для второго ряда аналогично.
Ну и теперь мой второй вопрос: могу ли я сказать, что $\sum\limits_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{e^{nx^2}}$ - это степенной ряд, проведя замену $t = e^{-nx^2}$?
Если да, то мы знаем, что этот ряд равномерно сходится при $t \in (0; 1)$, то есть при $x > 0$, а значит равномерно сходится на $(0; 1]$ и исходный ряд. Со вторым рядом разбираемся аналогично.
Если какое-то из моих предположений неверно, то, пожалуйста, подскажите в какую сторону смотреть. Может быть, я вообще пытаюсь доказать ложное утверждение?

[Otta]

EzikBro в сообщении #1563912 писал(а):

Как мне кажется, этот ряд на указанном промежутке равномерно сходится.

Зря кажется.

[EzikBro]

А можете тогда подсказать, где в своем рассуждении я допустил ошибку?

[Otta]

EzikBro в сообщении #1563912 писал(а):

а потом сказать, что изначальный ряд сходится равномерно, так как является их суммой.

Это можно. Но у нас проблемы. Они оба не сходятся равномерно. Если не обращать на это внимание, то да, конечно, это:

EzikBro в сообщении #1563912 писал(а):

Первый мой вопрос связан с тем, могу ли я отдельно доказать сходимость на $(0; 1]$ и на $[1; +\infty)$, а потом сделать вывод, что ряд сходится равномерно на $(0; +\infty)$?

было бы можно.

EzikBro в сообщении #1563912 писал(а):

а на интервале $(0; 1)$ у меня возникают проблемы.

Неудивительно. Потому что они именно там.

EzikBro в сообщении #1563912 писал(а):

Первый мой вопрос связан с тем, могу ли я отдельно доказать сходимость на $(0; 1]$ и на $[1; +\infty)$, а потом сделать вывод, что ряд сходится равномерно на $(0; +\infty)$?

Если речь не об этом ряде - да.

EzikBro в сообщении #1563912 писал(а):

Ну и теперь мой второй вопрос: могу ли я сказать, что $\sum\limits_{1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{e^{nx^2}}$ - это степенной ряд, проведя замену $t = e^{-nx^2}$?

Какая-то замена неудачная, если уж Вам захотелось сделать степенной.

EzikBro в сообщении #1563912 писал(а):

Если да, то мы знаем, что этот ряд равномерно сходится при $t \in (0; 1)$,

Нет, не знаем. Вам опять показалось.

Я постаралась кратко.

[EzikBro]

Извините, можете объяснить подробнее, насчет степенного ряда?
Я действительно в своем сообщении ошибся в замене. Должно было быть: $t = e^{-x^2}$.
Тогда мы получаем ряд $\sum\limits_{1}^{\infty} \sqrt{n} t^n$. У него радиус равен $1$ (по теореме Коши-Адамара) , значит он равномерно сходится на $(-1; 1)$. После обратной замены получаем: $\left\lvert x \right\rvert > 0$.
Так как мы рассматривали данный ряд под условием $0 < x \leqslant 1$, то этот же промежуток получаем в ответе.

[Padawan]

Обычно отсутствие равномерной сходимости через критерий Коши доказывают.
Но посмотрим, что Otta скажет.
Я бы посоветовал представить ряд в виде $\sum\limits_n \frac{1}n\varphi(\sqrt n x) $ и положить $x=\frac{a}{\sqrt N}$, где $N$ - очень большое число, $a$ -- фиксированное положительное число, для которого $\varphi(a) \neq 0$.

[Otta]

EzikBro в сообщении #1563924 писал(а):

значит он равномерно сходится на $(-1; 1)$. После обратной замены получаем: $\left\lvert x \right\rvert > 0$.

Нет такого у Коши-Адамара. Есть: на интервале сходимости ряд сходится поточечно, в каждом отрезке, полностью лежащем в интервале, сходится равномерно. Вы не отгорожены от границы интервала.

-- 01.09.2022, 21:01 --

:-)
... а что я могу сказать? :) Классика жанра: равномерной сходимости нет, в точках максимума ведет себя как расходящийся гармонический - конечно, критерий Коши.

[EzikBro]

Otta, спасибо за помощь и объяснение ошибки. Я действительно почему-то был уверен, что если на каждом внутреннем отрезке ряд сходится равномерно, то он сходится равномерно и на всем интервале, хотя мне и казалось, что теорему как-то сложновато формулируют в таком случае. После ваших слов почитал несколько разных учебников в интернете и понял, что все-таки был не прав.

Padawan, спасибо за подсказку. Вероятно, я бы еще долго думал, какой все-таки $x$ использовать в теореме Коши, чтобы она заработала так, как нужно. А когда вы написали про $\sqrt{n} x$, все встало на свои места. Хоть и не очень просто, но все достаточно хорошо расписалось.