Наибольшие площади

[alcoholist]

slavav в сообщении #1563546 писал(а):

Они не являются наибольшими по площади решениями.

в посылках вашего утверждения не была упомянута максимизация площади:)

осталось доказать, что это

alcoholist в сообщении #1561653 писал(а):

круг радиуса $\sqrt{2\alpha}$ с центром в начале координат

ну или, как уточнили, любой из эллипсов данной площади

[waxtep]

slavav в сообщении #1563546 писал(а):

Точно утверждение звучит так: для любой фигуры решающей задачу, найдётся выпуклая центрально-симметричная фигура не меньшей площади, которая тоже решает задачу.

Может быть, можно так рассуждать, в предположении выпуклости и центральной симметрии (выпуклость, думаю, доказать могу, а насчет симметрии с ходу не соображу): раз фигура выпуклая, треугольники максимальной площади будут иметь две вершины на границе. Зафиксируем какую-нибудь точку $A$ на границе и направим на нее ось абсцисс; тогда площадь треугольника c вершинами в $O, A, B$ (еще какая-то точка на границе) будет выражаться как $\frac12x_A|y_B|$. Для выпуклой фигуры эта величина будет максимальной, когда точка $B$ лежит на оси ординат (мне это не было очевидно; без предположения выпуклости это не обязательно так). А в общем случае, получим в полярных координатах $\frac12\rho(\varphi)\rho(\varphi+\pi/2)\leqslant\alpha$, и для максимизации площади фигуры следует брать $\rho(\varphi+\pi/2)=\dfrac{2\alpha}{\rho(\varphi)}$. Далее, в силу центральной симметрии фигуры, ее площадь $S=\int_0^{\pi}\rho^2(\varphi)d\varphi=\int_0^{\pi/2}\left(\rho^2(\varphi)+\left(\dfrac{2\alpha}{\rho(\varphi)}\right)^2\right)d\varphi$. Это выражение максимально при $\rho(\varphi)=\operatorname{const}=\sqrt{2\alpha}$

[svv]

waxtep в сообщении #1563685 писал(а):

насчет симметрии

Обозначим нашу фигуру $E$. Допустим, точки $A$ и $A'$ симметричны относительно $O$.
Если $A\in E$, для произвольной точки $B\in E$ верно $S_{OAB}\leqslant\alpha$.
Так как $S_{OA'B}=S_{OAB}$, для любой $B\in E$ также $S_{OA'B}\leqslant\alpha$.
Значит, добавление точки $A'$ в множество $E$ не нарушит условия.

[waxtep]

waxtep в сообщении #1563685 писал(а):

Это выражение максимально при $\rho(\varphi)=\operatorname{const}=\sqrt{2\alpha}$

Вообще конечно это жульничество какое-то, можно лишь сказать, что выражение экстремально. Для доказательства максимальности нужны какие-то дополнительные пассы руками

-- 29.08.2022, 01:59 --

svv в сообщении #1563695 писал(а):

Так как $S_{OA'B}=S_{OAB}$

А!

[waxtep]

waxtep в сообщении #1563685 писал(а):

Зафиксируем какую-нибудь точку $A$ на границе и направим на нее ось абсцисс; тогда площадь треугольника c вершинами в $O, A, B$ (еще какая-то точка на границе) будет выражаться как $\frac12x_A|y_B|$. Для выпуклой фигуры эта величина будет максимальной, когда точка $B$ лежит на оси ординат

Ммм даже это неверно, хороший контрпример - вытянутый прямоугольник

[DeBill]

waxtep в сообщении #1563685 писал(а):

Это выражение максимально при $\rho(\varphi)=\operatorname{const}=\sqrt{2\alpha}$

Здесь - неточность: надо "минимально"...

-- 06.09.2022, 19:56 --

waxtep в сообщении #1563685 писал(а):

Для выпуклой фигуры эта величина будет максимальной, когда точка $B$ лежит на оси ординат (мне это не было очевидно; без предположения выпуклости это не обязательно так).

И для выпуклой и даже центральносиметричной - не обязательно так. Фишка в том, что линейное преобразование , сохраняющее площадь, переводит "хорошую фигуру" в хорошую. Так что, помимо круга, годятся и эллипсы той же площади.