Фазовые траектории и фазовая плоскость

[ozheredov]

Aritaborian в сообщении #1563623 писал(а):

речь не о вашем ролике

Хнык, хнык, а я думал гвоздь программы тут я ((

[svv]

Кому лень искать то видео:

Фиг.1. Волков и его автономная система.

$\begin{array}{l}\dot y=P(y,z)\\\dot z=Q(y,z)\end{array}$

(ozheredov)

ozheredov в сообщении #1563630 писал(а):

Хнык, хнык, а я думал гвоздь программы тут я ((

Хотел было сказать: «Ну, конечно, Вы!», как вдруг сообразил, что гвозди не хнычут.

[alcoholist]

Ded32 в сообщении #1563374 писал(а):

: "траектории решения системы расположены в трёхмерном пространстве, если мы эти траектории спроектируем на плоскость $y ; z$ то получим некие кривые, они и есть фазовые траектории" - вот именно исходное трёхмерное пространство и хотелось бы увидеть для какого-то понимания.

Благодаря svv всё прояснилось. Интегральная траектория это кривая $\langle t,y(t),z(t)\rangle$. Проекция траектории на плоскость $Oyz$ является параметризованной кривой $\langle y(t),z(t)\rangle$. Разумеется, сама кривая, как подмножество точек плоскости, $\left\{\langle y(t),z(t)\rangle:t\in(a,b)\right\}$ допускает сколько угодно параметризаций. Если мы ничего не знаем об изначальной системе д.у., траекторий мы не восстановим.

[Ded32]

Ещё раз, дело не в ролике, и не в какой-то конкретной системе диф. уравнений.
Сейчас постараюсь снова уточнить свой запрос и заодно разобраться с вышесказанным.

alcoholist в сообщении #1563384 писал(а):

я не вижу системы, поэтому вопрос: "траектория", это $\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$, или $\langle t,x(t),y(t)\rangle$?

Выходит, вот это $\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$ имеет размерность $n=3$, поскольку у нас три переменные, $x, y, z$ а $\langle t,x(t),y(t)\rangle$ уже $n=2$, поскольку здесь две переменные, $x, y$, в этом случае никакое пространство не строится. Мне кажется я грубо истолковал, но верно.

Из этого выходит, что для построения трёхмерного фазового пространства мне нужна система дифференциальных уравнений с тремя переменными, и вот в нём уже видны интегральные кривые:

Теперь, самое главное, получается, что мне нужен инструмент (софт), куда бы я мог загрузить какую-либо систему диф. уравнений на три переменные, и получить визуализированное трёхмерное фазовое пространство!
Есть ли такие программные продукты в принципе? Потому что, как я понимаю, везде принято изображать только проекции n-мерности на плоскость, а плоскость мне не нужна.

[svv]

Ded32 в сообщении #1563741 писал(а):

Выходит, вот это $\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$ имеет размерность $n=3$, поскольку у нас три переменные, $x, y, z$ а $\langle t,x(t),y(t)\rangle$ уже $n=2$, поскольку здесь две переменные, $x, y$, в этом случае никакое пространство не строится. Мне кажется я грубо истолковал, но верно.

Из этого выходит, что для построения трёхмерного фазового пространства мне нужна система дифференциальных уравнений с тремя переменными, и вот в нём уже видны интегральные кривые

В случае автономной системы из $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка фазовое пространство $(x_1,...,x_n)$ имеет размерность $n$, а расширенное фазовое пространство $(t, x_1,...,x_n)$ имеет размерность $n+1$. Именно в последнем лежат интегральные кривые, каждая из которых соответствует решению системы при конкретных начальных условиях. Число уравнений $n$ определяется решаемой задачей, а не способом визуализации решений системы.

При $n=1$ фазовое пространство одномерно $(x)$, а расширенное фазовое пространство двумерно $(t, x)$. Если конкретную задачу удалось свести к единственному дифференциальному уравнению первого порядка, это не недостаток (типа, не хватает переменных для 3D), а везение.

При $n=2$ фазовое пространство двумерно $(x,y)$, то есть это фазовая плоскость, а расширенное фазовое пространство трёхмерно $(t,x,y)$. Интегральная кривая описывается параметрическим уравнением $(t,x(t),y(t))$, где функции времени $x(t), y(t)$ найдены в результате решения системы с конкретными начальными условиями. Программа легко нарисует эту кривую в 3D, если функции уже известны.

При $n=3$ фазовое пространство трёхмерно $(x,y,z)$, а расширенное фазовое пространство четырёхмерно $(t,x,y,z)$. Интегральная кривая в расширенном фазовом пространстве описывается параметрическим уравнением $(t,x(t),y(t),z(t))$, где функции времени $x(t), y(t), z(t)$ получены в результате решения системы с конкретными начальными условиями. Так как это расширенное фазовое пространство четырёхмерно, визуализировать кривую уже затруднительно. Но можно построить её проекцию на трёхмерное пространство $(t,x,y)$ — например, если переменная $z$ не так важна, как $x$ и $y$.

Допустим, Вы решаете задачу о движении планеты в гравитационном поле Солнца. У планеты 3 степени свободы, каждой степени свободы соответствует 2 переменных (координата и скорость), так что получается система из 6 ДУ первого порядка с независимой переменной $t$ и зависимыми переменными $(x, y, z, v_x, v_y, v_z)$, поэтому фазовое пространство будет шестимерным, а расширенное фазовое пространство семимерным. Многовато для визуализации. К счастью, траектория планеты лежит в некоторой плоскости, поэтому удачным выбором координат число зависимых переменных (и число уравнений) можно сократить до 4: $(x,y,v_x,v_y)$. Это уже легче. Дальше мы отказываемся от того, чтобы одна кривая давала информацию о зависимости всех этих четырёх переменных от времени (ведь по изображению зависимости координаты от времени можно судить и о скорости). И строим в 3D кривую $(t,x(t),y(t))$. Эта кривая является проекцией интегральной кривой в пятимерном пространстве $(t,x,y,v_x,v_y)$ на трёхмерное пространство $(t,x,y)$.
Выкрутились.

[alcoholist]

Ded32 в сообщении #1563741 писал(а):

и вот в нём уже видны интегральные кривые

на вашей картинке интегральные кривые "живут" в трехмерном пространстве, поэтому сама система двумерна... Запутала, конечно, вас эта картинка

svv в сообщении #1563636 писал(а):

Изображение

где вместо того, чтобы использовать человеческие $x$ и $y$, автор использует бесовские $y$ и $z$.

-- Вт авг 30, 2022 20:53:00 --

Ded32 в сообщении #1563741 писал(а):

Выходит, вот это $\langle x(t),y(t),z(t)\rangle$ имеет размерность $n=3$

в этом случае интегральные кривые "живут" в четырехмерном пространстве

[Ded32]

Да, целил я в "яблочко" да не попал даже в мишень.

svv в сообщении #1563770 писал(а):

В случае автономной системы из $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка фазовое пространство $(x_1,...,x_n)$ имеет размерность $n$, а расширенное фазовое пространство $(t, x_1,...,x_n)$ имеет размерность $n+1$. Именно в последнем лежат интегральные кривые, каждая из которых соответствует решению системы при конкретных начальных условиях. Число уравнений $n$ определяется решаемой задачей, а не способом визуализации решений системы.

При $n=2$ фазовое пространство двумерно $(x,y)$, то есть это фазовая плоскость, а расширенное фазовое пространство трёхмерно $(t,x,y)$. Интегральная кривая описывается параметрическим уравнением $(t,x(t),y(t))$, где функции времени $x(t), y(t)$ найдены в результате решения системы с конкретными начальными условиями. Программа легко нарисует эту кривую в 3D, если функции уже известны.

Выходит, что, для того чтобы наконец увидеть мне интегральные кривые без лишних ухищрений, нужно построить расширенное фазовое пространство на основе автономной системы ОДУ первого порядка из двух уравнений, при этом должны быть конкретные начальные условия (что-то вроде задачи Коши?), верно?

alcoholist в сообщении #1563830 писал(а):

где вместо того, чтобы использовать человеческие $x$ и $y$, автор использует бесовские $y$ и $z$.

И то правда


Да, большое спасибо за такие развернутые ответы, да и вообще за ответы, чем больше информации тем больше понимания. Всё это я буду долго обдумывать, поскольку эту тему мне нужно понимать для себя хотя бы на неком базовом уровне.

[svv]

Ded32 в сообщении #1563862 писал(а):

Выходит, что, для того чтобы наконец увидеть мне интегральные кривые без лишних ухищрений, нужно построить расширенное фазовое пространство на основе автономной системы ОДУ первого порядка из двух уравнений, при этом должны быть конкретные начальные условия (что-то вроде задачи Коши?), верно?

Да, только
1) число уравнений Вы не выбираете, оно зависит от задачи;
2) конкретные начальные условия дают одну интегральную кривую; если взять много разных начальных условий, получим много интегральных кривых.