Задачник по алгебре под ред. Кострикина, задача 37.29а

[Kuga]

Пусть для ненулевой билинейной (полуторалинейной) функции $f$ на пространстве $V$ существует такое число $\varepsilon$, что для любых $x,y\in V$

$$ f(y,x)=\varepsilon f(x,y) $$

(соответственно $\overline{f(y,x)}=\varepsilon f(x,y)$). Доказать что $\varepsilon=\pm 1$.

Решение.
Для билинейной я решил, проблема в полуторалинейном случае. Имеем

$$ \sum_{j,k}\bar{f}_{jk}\bar{y}_jx_k=\varepsilon\sum_{j,k}{f}_{kj}x_k\bar{y}_j $$

отсюда получаем

$$ \bar{f}_{jk}=\varepsilon{f}_{kj},\qquad \bar{f}_{kj}=\varepsilon{f}_{jk} $$

или после комплексного сопряжения 2-го уравнения

$$ \bar{f}_{jk}=\varepsilon{f}_{kj},\qquad {f}_{kj}=\bar{\varepsilon}\bar{f}_{jk} $$

откуда $|\varepsilon|^2=1$. Как в задаче получили, что $\varepsilon=\pm 1$ мне не понятно.

[vpb]

Ошибка в задачнике, я так думаю. Постройте контрпример на двумерном пространстве. Он вроде кососимметрического, то есть там на диагонали нули будут.

[Kuga]

Вот контрпример

$$ f=\left({0~ i}\atop 1~ 0\right), \quad \bar{f}^t=\left({0~ 1}\atop -i~ 0\right)=-if $$

откуда $\varepsilon=-i$.

Если это ошибка в задачнике, то как так вообще можно было ошибиться?

[vpb]

Kuga в сообщении #1563625 писал(а):

Если это ошибка в задачнике, то как так вообще можно было ошибиться?

Errare humanum est, как говорили древние римляне. Что буквально значит "ошибаться --- это человеческое" (может, тут я ошибаюсь, так как латыни не знаю). По русски эта пословица звучит как "Человеку свойственно ошибаться".

Ошибки встречаются где угодно и у кого угодно. Даже в Бурбаках. Читал я когда-то третье издание "Алгебры" Бурбаков (оно существует в английском переводе, а в русском нет). И замечал там неоднократно ошибки, в основном в задачах. Чего уж ожидать от людей попроще ? Короче, ошибаются все, хоть и не все одинаково часто.

В данном случае объективная предпосылка ошибки --- то, что эрмитовы формы очень похожи по своим свойствам на билинейные, а для билинейных соответствующее свойство --- на уровне спинного мозга (для специалистов). Поэтому никому в глаза и не бросилось.

[svv]

Контрпример строится и для одномерного случая. Например, пусть
$f(x,y)=c x\overline y$, где $c=1-i$.
Тогда
$\overline{f(y,x)}=\overline c \,\overline y x =\dfrac{\overline c}{c} f(x,y)=if(x,y).$

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1563631 писал(а):

может, тут я ошибаюсь, так как латыни не знаю

Тут Вы ошибаетесь: Вы знаете её на достаточном уровне, чтобы правильно перевести пословицу дословно. Ведь в сборниках крылатых латинских изречений всегда приводится только литературный перевод «человеку свойственно ошибаться».

[vpb]

Гм. Вы правы, а я промахнулся (показалось, что в любом контрпримере нули на диагонали). Ай-яй-яй.

[Kuga]

Хорошо, а что тогда делать с этим утверждением?

Если $f$ – полуторалинейная форма, для которой $f(x, y) = 0$ титтк $f(y, x) = 0$, то $f$ – эрмитова или косоэрмитова форма.

(см. стр. 2 в статье, https://www.sciencedirect.com/science/a ... f658567a7d
где ссылаются на книгу Э. Артина "Геометрическая алгебра", стр. 156.

Так же задача 37.30б, но там сформулировано немного по-другому: достаточно того, что из $f(x, y) = 0$ следует $f(y, x) = 0$. Указание к задаче 37.30 ссылается на задачу 37.29а)

Это утверждение сводится к задаче 37.29а.
Допустим фиксировано какое-то $y\in V$. Рассмотрим линейные функции $g$ и $g'$:

$$ g_j=\sum_k f_{jk}\bar{y}_k,\qquad g'_j=\sum_k\bar{f}_{kj}\bar{y}_k. $$

определенные так, что $(g,x)=f(x,y)$, $(g',x)=\overline{f(y,x)}$. Ввиду $f(x, y) = 0$ титтк $f(y, x) = 0$, получаем, что ядро $g$ совпадает с ядром $g'$. Согласно задаче 36.14 отсюда следует, что
$g$ и $g'$ пропорциональны. Но так как $y$ было произвольным, то получаем, что $f$ и $\bar{f}^t$ пропорциональны.

[Kuga]

Применим контрпример, приведенный выше

$$ f=\left({0~ i}\atop 1~ 0\right) $$

к утверждению, сделанному в книге Артина.

Получаем:

$$ f(x,y)=(x_1,x_2)\left({0~ i}\atop 1~ 0\right)\left(\bar{y}_1\atop \bar{y}_2\right)=(x_2,ix_1)\left(\bar{y}_1\atop \bar{y}_2\right)=x_2\bar{y}_1+ ix_1\bar{y}_2 $$

$$ \overline{f(y,x)}=\overline{y_2\bar{x}_1+ iy_1\bar{x}_2}=x_1\bar{y}_2-ix_2\bar{y}_1=-i\left(x_2\bar{y}_1+ ix_1\bar{y}_2\right)=-if(x,y) $$

т.е. $f(x,y)=0\iff f(y,x)=0$, но $f$ не является ни эрмитовой, ни косоэрмитовой. Значит в книге Артина тоже ошибка? Или я чего-то глобально не понимаю?

[vpb]

Нет, с книгой Артина всё в порядке. Просто авторы той статьи неправильно помнят, что в ней написано.
Есть известный результат, теорема Биркгофа-Неймана, что всякая полуторалинейная рефлексивная форма эрмитова или косоэрмитова, с точностью до умножения на константу. Форма, билинейная или полуторалинейная, называется рефлексивной, если $f(x,y)=0$ всегда влечет $f(y,x)=0$. И авторы задачника (один или несколько из них) тоже, очевидно, нетвердо помнят.

Правда, я этот предмет по другой книге когда-то (очень давно) изучал, а именно Дьёдонне, Геометрия классических групп. Там см. гл.1, параграф 6. Но, надо сказать, книга Дьёдонне сложная и конспективно написанная, я ее впервые читал отнюдь не на младших курсах.

[Kuga]

Спасибо. Тогда этот вопрос можно закрыть.

[vpb]

На здоровье.

[Евгений Машеров]

Kuga в сообщении #1563621 писал(а):

$$ f(y,x)=\varepsilon f(x,y) $$

Условие точно записано, ничего не пропущено?
А то напрашивается $f(x,x)=\varepsilon f(x,x)$
и эпсилон единица, даже минус единица не может быть. Наверно, что-то более сложное спрашивалось?

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1563886 писал(а):

А то напрашивается $f(x,x)=\varepsilon f(x,x)$
и эпсилон единица

или $f(x,x)$ тождественный нуль.