Плотность вероятности и функция распределения?

[Divergence]

Первую фразу можно убрать.

Divergence в сообщении #1563513 писал(а):

1) Пусть $F_X(x)\in C^1(0,\infty)$. Определим $f_X(x) =F^{(1)}_X(x)$.
2) Пусть $f_X(x)\in C(0,\infty)$. Определим $F_X(x) =\int^x_0 f_X(u)du$.
Одна из функция может быть определена через другую.
Хотелось бы, чтобы оба подхода были бы равнозначными.

[alcoholist]

alcoholist в сообщении #1563514 писал(а):

Что такое $X$?

-- Пт авг 26, 2022 00:28:17 --

и $x$ как индекс

[Divergence]

Divergence в сообщении #1563515 писал(а):

Перечисляем свойства PDF, определяя новое $C^{NEW}_{PDF}(0,\infty)$.

Хотелось бы узнать весь список.
Так какие будут свойства $f_X(x)$?
Те которые А1-А3 были в самом первом моем посте?

A1) $f_X(x) \in C(0,\infty)$ (или $f_X(x) \in C[0,\infty)$).
A2) $f_X(x) \ge 0$ для всех $x>0$ (или для всех $x \ge 0$).
A3) $\int^{\infty}_0 f_X(x) \, dx \, = \, 1$.

[alcoholist]

Что такое $X$ скажете наконец? Глаза ведь режет.

[Divergence]

Типа Случайная величина в перспективе. Можно убрать.

[alcoholist]

Определим класс $C_{\mathrm{CDF}}(0,+\infty)$ как множество функций, удовлетворяющих условиям

В1) $F(x) \in C^1(0,\infty)$ (непрерывная дифференцируемость);

B2) $F'(x) \ge 0$ для всех $x>0$ (монотонность);

B3) $\lim\limits_{x\to +\infty}F(x)=1$;

B4) $F(0+)=0$.

Рассмотрим $C_{\mathrm{PDF}}(0,+\infty)=\left\{F':F\in C_{\mathrm{CDF}}(0,+\infty)\right\}$. Покажите, что этот класс определяется теми самыми свойствами A1)-A4). Наконец, покажите, что интегрирование является биекцией $C_{\mathrm{PDF}}(0,+\infty)$ на $C_{\mathrm{CDF}}(0,+\infty)$.

[Divergence]

А чем вам не нравиться определение $C_{PDF}(0,\infty)$ как множество функций удовлетворяющих условиям
A1) $f_X(x) \in C(0,\infty)$ (или $f_X(x) \in C[0,\infty)$).
A2) $f_X(x) \ge 0$ для всех $x>0$ (или для всех $x \ge 0$).
A3) $\int^{\infty}_0 f_X(x) \, dx \, = \, 1$.
Вроде очевидное соответствие со свойствами B1-B3.
Или, что-то не очевидно?

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1563523 писал(а):

А чем вам не нравиться

Пусть такое. Теперь покажите, что интегрирование -- это биекция на

alcoholist в сообщении #1563522 писал(а):

класс $C_{\mathrm{CDF}}(0,+\infty)$ функций, удовлетворяющих условиям

В1) $F(x) \in C^1(0,\infty)$ (непрерывная дифференцируемость);

B2) $F'(x) \ge 0$ для всех $x>0$ (монотонность);

B3) $\lim\limits_{x\to +\infty}F(x)=1$;

B4) $F(0+)=0$.

Этот ваш индекс $X$ он совершенно лишний, не по делу, сбивает с толку, раздражает и т.д.

Вот доказали вы, допустим. А к чему всё это?

[Divergence]

Доказывать, что интегрирование -- это биекция и при этом отслеживать возможные хитрости в условиях - не комильфо.
Рассматривать сами условия можно в рамках стандартного матана, и полегче уследить, что вляпался.

$X$ или $\xi$ в виде нижнего индекса (да излишний символ) но он используются, например, в разных книгах
Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике Наука (1985)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cumulativ ... n_function

Это игрушечная модель - понять, свои ошибки, чтобы двигаться дальше.
Для непрерывных распределений, определенных на всей полуоси, важно понятие свертки Лапласа,
$f(x)=\int^x_0 f_1(x-u) \, f_2(u) \, du$,
которая описывает плотность вероятности суммы двух случайных величин.
стр 20, 65 в книге Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения Том 2 (Мир, 1967)

Семейство плотностей гамма распределения замкнуто относительно этой свертки.
Есть ли справочники или статьи, в которых приведены все вычисленные явно
свертки двух непрерывных распределений, определенных на всей полуоси?
Другими словами, таблицы плотностей распределений для сумм двух случайных величин.

Прежде всего, пожалуйста подскажите статьи или книги, где приведены свертки гамма распределения
с другими непрерывными распределениями на полуоси, дабы не вычислять все самому.

Список самих распределений есть например в книге
Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям (2001)
Forbes C., Evans M., Hastings N., Peacock B. Statistical Distributions, Fourth Edition (Wiley 2011)

Может открыть новый форум?

-- 26.08.2022, 22:23 --

Нашел только список сверток распределений с себе подобными.
List of convolutions of probability distributions
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_c ... tributions

Разве нельзя "скрещивать" разные распределения ?

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1563560 писал(а):

но он используются, например, в разных книгах

Если где-то в начале написано $F_X(x)=\mathbb{P}(X<x)$, то индекс осмыслен. А у вас получается, что вы вводите класс $C_{\mathrm{CDF}}(0,+\infty)$ и ВСЕ его представители соответствуют какой-то (одной!) с.в. $X$.

-- Сб авг 27, 2022 17:17:04 --

Divergence в сообщении #1563560 писал(а):

Разве нельзя "скрещивать" разные распределения ?

Свертка плотностей двух с.в. это плотность их суммы

-- Сб авг 27, 2022 17:18:56 --

Divergence в сообщении #1563560 писал(а):

Доказывать, что интегрирование -- это биекция и при этом отслеживать возможные хитрости в условиях - не комильфо.
Рассматривать сами условия можно в рамках стандартного матана, и полегче уследить, что вляпался.

в данном случае всё элементарно, эта биекция линейна