Плотность вероятности и функция распределения?

[Divergence]

alcoholist в сообщении #1563478 писал(а):

функция не обязана быть эквивалентной степенной в точке, логарифмы бывают, да мало ли еще что!

Да. Не подумал. А что-же можно написать про $f_X(x)$ в Непрерывном Мире, вместо явного
$\lim_{x\to 0+} \int^x_0 f_X(u) du =0$

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1563484 писал(а):

А что-же можно написать про $f_X(x)$ в Непрерывном Мире, вместо явного

Вам же объяснили, что

Null в сообщении #1563480 писал(а):

Если $ \int^\varepsilon_0 f(u)du $ существует(при некотором $\varepsilon>0$) то $\lim_{x \to 0+} \int^x_0 f(u)du =0$ для интегралов Римана/Лебега

это интегрируемый мир, он красивее непрерывного

-- Чт авг 25, 2022 17:04:06 --

"плотность вероятности", pdf, это нечто искусственное, производное (в прямом и переносном смысле) понятие от "физической" функции распределения, которая cdf

[Divergence]

alcoholist в сообщении #1563483 писал(а):

возьмите в качестве cdf вот эти книжные

К сожалению, для меня это не интересно.

alcoholist в сообщении #1563483 писал(а):

(они определены почти всюду, но нам и не интересно значение плотности распределения в точке

Такое мне не подходит.
Должна быть непрерывность в $(0,\infty)$. Допустимы только сингулярности в нуле.

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1563486 писал(а):

Такое мне не подходит.
Должна быть непрерывность в $(0,\infty)$. Допустимы только сингулярности в нуле.

Из условия $\int_0^{+\infty}f(\xi)\,\mathrm{d}\xi=1$ следует $\lim\limits_{x\to 0+}\int_0^{x}f(\xi)\,\mathrm{d}\xi=0$, так что об этом условии можно не думать.

И, кстати, мало того, что у вас нет равномерного распределения на отрезке, вы еще и лишаете себя возможности предельного перехода, так как пространства $C_{\mathrm XDF}$ будут заведомо неполными.

[Divergence]

Null в сообщении #1563480 писал(а):

Если $ \int^\varepsilon_0 f(u)du $ существует(при некотором $\varepsilon>0$) то $\lim_{x \to 0+} \int^x_0 f(u)du =0$ для интегралов Римана/Лебега

Подскажите пожалуйста ссылку (книги или статьи, рус или анг) на доказательство этого утверждения для интегралов Римана.

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1563488 писал(а):

Подскажите пожалуйста ссылку

кстати, стоп... я В1 неправильно написал, ведь может быть нагрузка в нуле! Исправил:

B1) $F(0)=0$

так как вполне себе функция распределения

$$ F(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0,&x=0\\ 1-\frac{1}{2(x+1)},&x>0\end{array}\right.. $$

[Null]

Divergence в сообщении #1563488 писал(а):

Подскажите пожалуйста ссылку (книги или статьи, рус или анг) на доказательство этого утверждения для интегралов Римана.

Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной. Непрерывность интеграла по верхнему пределу интегрирования. Это если интеграл собственный в 0.
Если он несобственный то

$$\lim_{x \to 0+} \int^x_0 f(u)du =\lim_{x \to 0+} \int_0^\varepsilon f(u)du-\lim_{x \to 0+} \int_x^\varepsilon f(u)du=\int_0^\varepsilon f(u)du-\int_0^\varepsilon f(u)du=0$$

alcoholist в сообщении #1563485 писал(а):

это интегрируемый мир, он красивее непрерывного

Вы про интеграл по мере? Ну в данном случае плотность - обычная функция.

alcoholist в сообщении #1563489 писал(а):

так как вполне себе функция распределения

Не удовлетворяет условию

Divergence в сообщении #1563456 писал(а):

B1) $F_X(x) \in C^1(0,\infty)$ (или $F_X(x) \in C^1[0,\infty)$).

Вы похоже не ту задачу решаете.

[Divergence]

Null в сообщении #1563492 писал(а):

Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Т. 1.

Спасибо нашел - раздел 29.1 стр.405-406.

Null в сообщении #1563492 писал(а):

Вы похоже не ту задачу решаете.

Что же вы имеете ввиду?

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1563493 писал(а):

Что же вы имеете ввиду?

Вас не затруднит привести здесь свою исходную задачу? А то непонятно, чем вам помочь:))

[Divergence]

Спасибо за помощь. Вы во многом помогли.
А про исходную задачу, в виде "toy model", для непрерывных распределений на полуоси.
Ниже не метод решения какой-то задачи, а постановка задачи.

Divergence в сообщении #1563479 писал(а):

Исходно брал матан, где определял

$$ F_X(x) \, := \, \int^x_0 f_X(x) dx , \quad f_X(x) \, := \, \frac{dF_X(x)}{dx} . $$

Фундаментальные теоремы обеспечивают взаимосвязь

$$ \frac{d}{dx}\int^x_0 f_X(u) \, du \, = \, f_x(x) , \quad \int^x_0 F^{(1)}_X(u) \, du \, = \, F_x(x) \, - \, F_X(0+) $$

При этом рассматривается только $f_X(x) \in C(0,\infty)$ и $F_X(x) \in C^1(0,\infty)$.
Далее смотрю, какие надо наложить дополнительные условия на эти функции, что бы обе эти функции были бы PDF и CDF.
При этом хочется понять взаимосвязь дополнительных условий для $f_X(x) \in C(0,\infty)$ и дополнительных условий для $А_X(x) \in C^1(0,\infty)$.

Divergence в сообщении #1563456 писал(а):

Интересуют такие наборы дополнительных условий, при которых оба следующих утверждения верны
$ \text{Если} \quad F_X(x) \in C_{CDF}(0,\infty) , \quad \text{тогда} \quad \frac{dF_X(x)}{dx} \, \in \, C_{PDF}(0,\infty) . $
$ \text{Если} \quad f_X(x) \in C_{PDF}(0,\infty) , \quad \text{тогда} \quad \int^x_0 f_X(x) \, dx \, \in \, C_{CDF}(0,\infty) . $

То, что в игрушечную модель не попадает часть распределений, и то, что, конечно же, теорвер можно сформулировать в более общем виде, это очевидно.
Подозреваю, что идеально согласовать доп условия для $f_X(x) \in C(0,\infty)$ и $F_X(x) \in C^1(0,\infty)$ не получится.
В силу этого, интересует, где именно и что именно не получается согласовать.

Из обсуждения, благодаря вашей подсказке, понял свою ошибку в своем пункте (A4).
Остались смущения в 1-3 моих пунктах относительно точке $x=0$, в которой может жить сингулярность,
поскольку использую $C(0,\infty)$ и $C^1(0,\infty)$, а не для $C[0,\infty)$ и $C^1[0,\infty)$

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1563508 писал(а):

Исходно брал матан, где определял

$$ F_X(x) \, := \, \int^x_0 f_X(x) dx , \quad f_X(x) \, := \, \frac{dF_X(x)}{dx} . $$

Не вижу ни одного определения здесь!

-- Чт авг 25, 2022 23:04:20 --

Divergence в сообщении #1563508 писал(а):

Фундаментальные теоремы обеспечивают взаимосвязь

$$ \frac{d}{dx}\int^x_0 f_X(u) \, du \, = \, f_x(x) , \quad \int^x_0 F^{(1)}_X(u) \, du \, = \, F_x(x) \, - \, F_X(0+) $$

Какую смысловую нагрузку несут нижние индексы $X$ и $x$?

-- Чт авг 25, 2022 23:05:12 --

Divergence в сообщении #1563508 писал(а):

что бы обе эти функции были бы PDF и CDF.

одновременно CDF и PDF? CDF и PDF чего именно? Выражайтесь яснее, пожалуйста.

-- Чт авг 25, 2022 23:32:04 --

Цитата:

Можно написать условия для определение класса $C_{CDF}(0,\infty)$ в виде

$F\in C_{CDF}(0,\infty)$ если выполнены условия

B1) $F(x) \in C^1(0,\infty)$;

B2) $F'(x) \ge 0$ для всех $x>0$;

B3)$\lim\limits_{x\to+\infty}F(x)=1$;

B4) $F(0+) = 0$.

Последнее условие на мой взгляд лишнее, но пусть, если нравится. Теперь определяем $C_{PDF}(0,\infty)=\left\{F': F\in C_{CDF}(0,\infty)\right\}$. И не надо придумывать всякой фигни типа A4). Если сохраняете B4), то А4) получается в виде нулевого предела интеграла с переменным верхним пределом, не надо пытаться это свойство как-то переписывать.

И что с этим делать? Какой интерес?

[Divergence]

Определил пару взаимосвязанных функции $F_X(x)\in C^1(0,\infty)$ и $f_x(x)\in C(0,\infty)$.
Конечно можно сначала определить одну, а другую потом через производную или интеграл.
1) Пусть $F_X(x)\in C^1(0,\infty)$. Определим $f_x(x) =F^{(1)}_X(x)$.
2) Пусть $f_X(x)\in C(0,\infty)$. Определим $F_x(x) =\int^x_0 f_X(u)du$.
Одна из функция может быть определена через другую.
Хотелось бы, чтобы оба подхода были бы равнозначными.

Извиняюсь за неаккуратность - Все нижние должны быть $X$.

Да, не аккуратно написал. Надо было добавить - соответственно.
Функции $F_X(x)$ и $f_x(x)$ должны описывать CDF и PDF, соответственно, для широкого класса непрерывных распределений на всей полуоси.
В качестве таких доп условий для PDF очевидные кандидаты - неотрицательность и нормированность (помимо непрерывности) .
В качестве таких доп условий для PDF очевидные кандидаты - неубывание, $F_X(+\infty)=1$, $F_X(0+)=0$, (помимо непрерывной дифференцируемости).

Пример, "равнозначности", взаимосвязи дополнительных условий дополнительных условий.
* Если $F_X(x)\in C^1(0,\infty)$ и $F^{(1)}_X(x) \ge 0$, то тогда $f_X(x)\in C(0,\infty)$ и $f_X(x) \ge 0$.
* Если $f_X(x)\in C(0,\infty)$ и $f_X(x) \ge 0$, то тогда $F_X(x)\in C^1(0,\infty)$ и $F^{(1)}_X(x) \ge 0$.
Эти два утверждения верны?

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1563513 писал(а):

Извиняюсь за неаккуратность - Все нижние должны быть $X$.

Что такое $X$?

[Divergence]

alcoholist в сообщении #1563509 писал(а):

Теперь определяем $C_{PDF}(0,\infty)=\left\{F': F\in C_{CDF}(0,\infty)\right\}$.

О.К.
А теперь наоборот. Перечисляем свойства PDF, определяя новое $C^{NEW}_{PDF}(0,\infty)$.
А свойства $C_{CDF}(0,\infty)$ определяем через интеграл $C^{NEW}_{CDF}(0,\infty)=\left\{\int^x_0f_X(u)du: f \in C^{NEW}_{PDF}(0,\infty) \right\}$.

Затем вопрос. Получились совпадающие миры ?
Новое $C^{NEW}_{PDF}(0,\infty)$ совпадает с предложенным вами $C_{PDF}(0,\infty)=\left\{F': F\in C_{CDF}(0,\infty)\right\}$ ?
Аналогично, $C^{NEW}_{CDF}(0,\infty) \, = \, C_{CDF}(0,\infty)$ ?

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1563513 писал(а):

Определил пару взаимосвязанных функции $F_X(x)\in C^1(0,\infty)$ и $f_x(x)\in C(0,\infty)$.

задумайтесь, вы определяете пару каких-то функций, или все-таки взаимосвязь!

-- Пт авг 26, 2022 00:24:59 --

Divergence в сообщении #1563515 писал(а):

Затем вопрос. Получились совпадающие миры ?

Не надо никаких "NEW", просто покажите, что интегрирование -- биективное отображение "обратно"