Расчет кинетического момента системы

[Middle]

Здравствуйте, хочу разобраться с этой задачей

Орбитальная космическая станция вращается вокруг оси $Oz$, являющейся одной из её главных осей инерции, с угловой скоростью $\omega_{0}$
До какой угловой скорости относительно станции $\omega_{r}$ необходимо раскрутить находящийся внутри маховик, ось которого совпадает с осью вращения станции, чтобы угловая скорость вращения станции уменьшилась в два раза? Момент инерции маховика $Y_{1}=0,01Y$, где $Y$-момент инерции самой станции относительно оси вращения. В начальный момент времени маховик относительно станции не вращался.

Если формально записывать решение, то согласно теореме об изменении кин.момента:

$\frac{dK}{dt}=M$, где $M$-момент внешних сил, и поскольку они отсутствуют, то $K=\operatorname{const}$

В начальный момент времени $K=\sum\limits m_{k} u_{k} d_{k}=\sum\limits m_{k} \omega d^2_{k}=\sum\limits (m_{k} d^2_{k}) \omega= Y \omega$

Далее $K=\sum\limits m_{k} u_{k} d_{k}=\sum\limits m_{x} u_{x} d_{x}+\sum\limits m_{y} u_{y} d_{y}$, где $m_{x}$-точки принадлежащие маховику, а $m_{y}$-точки, принадлежащие множеству станция\маховик;

Очевидно легко считается первая сумма, она равна $\sum\limits m_{x} u_{x} d_{x}=Y_{1}(\omega_{r}+\omega_{0})/2$

Но я не понимаю чему равна сумма $\sum\limits m_{y} u_{y} d_{y}$, поскольку ничего неизвестно о самом маховике.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- не набран текст условия;
- заодно посмотрите еще раз на ответ: условие у этой задачи длиннее решения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 25.08.2022, 13:36 --

Заодно поправил пару опечаток...

Вы все-таки полезли в дебри, которые тут совершенно не нужны. Поскольку все в задаче вращается вокруг одной фиксированной оси, момент импульса и станции, и маховика - это просто произведение соответствующей угловой скорости на соответствующий же момент инерции. Осталось записать их суммы в исходном состоянии и в конечном, а затем приравнять их. То, как распределена масса в маховике и в станции, вам при этом знать не надо.

[Middle]

Pphantom в сообщении #1563454 писал(а):

Вы все-таки полезли в дебри, которые тут совершенно не нужны. Поскольку все в задаче вращается вокруг одной фиксированной оси, момент импульса и станции, и маховика - это просто произведение соответствующей угловой скорости на соответствующий же момент инерции. Осталось записать их суммы в исходном состоянии и в конечном, а затем приравнять их. То, как распределена масса в маховике и в станции, вам при этом знать не надо.

$K=(Y+Y_{1})\omega_{0}=\frac{Y\omega_{0}}{2}+Y_{1}(\frac{\omega_{0}}{2}+\omega_{r})$, соответственно в начальный и конечный моменты времени.
Конечно автору стоило бы написать, что маховик не является "частью" станции в том смысле, что момент инерции маховика не входит в момент инерции станции.

[Pphantom]

Middle в сообщении #1563468 писал(а):

Конечно автору стоило бы написать, что маховик не является "частью" станции в том смысле, что момент инерции маховика не входит в момент инерции станции.

На самом деле это не обязательно. Момент инерции маховика во много раз меньше момента инерции станции, причем их отношение дано с довольно низкой точностью. Соответственно, несложно заметить (ну или просто непосредственно убедиться), что оба возможных предположения (и что момент маховика входит в момент станции, и что не входит) с заданной точностью дают одинаковые результаты.