Элементарная задачка с AMC 12A (2013)

[melnikoff]

Задача с AMC 12A Problems (2013).
Problem 8:
Given that $x$ and $y$ are distinct nonzero real numbers such that $x+\tfrac{2}{x} = y + \tfrac{2}{y}$, what is $xy$?
Решение авторов:
$x+\tfrac{2}{x}= y+\tfrac{2}{y}$
Since $x\not=y$, we may assume that $x=\frac{2}{y}$ and/or, equivalently, $y=\frac{2}{x}$.
Cross multiply in either equation, giving us $xy=2$.

У меня проблемы с пониманием данного решения.
Мы можем предположить, что $x=\frac{2}{y}$ и/или $y=\frac{2}{x}$ и тогда получим ответ. Но мы же не обязаны это предполагать.

По-моему, решение должно выглядеть так:
Поскольку уравнение $u + \frac{2}{u} = A$ имеет не более двух корней, то $x=y$, либо $x=\frac{2}{y}$.
Так как по условию $x\neq y$, то получаем $xy=2$.
Или я горожу лишнего и просто не вижу элементарной логики?

[nnosipov]

melnikoff
Вы правы. Задача, конечно, простая, но все равно обоснование должно быть дано (например, так, как Вы предложили).

[ewert]

melnikoff в сообщении #1563233 писал(а):

Поскольку уравнение $u + \frac{2}{u} = A$ имеет не более двух корней, то $x=y$, либо $x=\frac{2}{y}$.

Да, это правильное решение (в отличие от никуда не годящегося оригинального), но, на мой взгляд, и оно не вполне прозрачно оформлено. Лучше так:

$$x-y=\frac{2(x-y)}{xy}\quad \Leftrightarrow \quad x-y=0\ \text{ или } \ 1=\frac2{xy}.$$

[TOTAL]

melnikoff в сообщении #1563233 писал(а):

Или я горожу лишнего и просто не вижу элементарной логики?

Городите лишнего, т.к. по ссылке три решения разной степени строгости.

[Gagarin1968]

TOTAL в сообщении #1563299 писал(а):

по ссылке три решения разной степени строгости

Это так, но мне кажется, что Solution 1 не выдерживает никакой критики. Чистейшей воды подгонка под ответ.

[TOTAL]

Gagarin1968 в сообщении #1563303 писал(а):

TOTAL в сообщении #1563299 писал(а):

по ссылке три решения разной степени строгости

Это так, но мне кажется, что Solution 1 не выдерживает никакой критики. Чистейшей воды подгонка под ответ.

$y+\tfrac{2}{y} = x + \tfrac{2}{x}$
Критиковать можно, но уж точно не подгонка. Просто совсем очевидные вещи не пояснены.
У этого квадратного уравнения для $y$ по теореме Виета корни $x$ и $\tfrac{2}{x}$

[mihaild]

TOTAL в сообщении #1563308 писал(а):

Критиковать можно, но уж точно не подгонка

По-моему выглядит как раз как подгонка: рассуждение очень похоже на "если суммы равны, то множества слагаемых совпадают".

[TOTAL]

Цитата:

Since $x\not=y$, we may assume that $x=\frac{2}{y}$ and/or, equivalently, $y=\frac{2}{x}$.
...
Мы можем предположить, что $x=\frac{2}{y}$ и/или $y=\frac{2}{x}$ и тогда получим ответ. Но мы же не обязаны это предполагать.

А если я так переведу здешний "assume":
Поскольку $x\not=y$, можно считать, что $x=\frac{2}{y}$ ...
Меньше на подгонку похоже?

[mihaild]

Скорее больше. "Поскольку [случайное утверждение из условия] то [другое случайное утверждение, которое оказывается верным исключительно из-за везения или подгонки]".

[TOTAL]

(Оффтоп)

Видимо, у автора решения номер 1 настолько плохая репутация, что теперь ему никак не отвертеться, пусть добровольно признается, что подогнал.