сходимость ряда Тэйлора

[zykov]

Может ли так быть, что ряд Тэйлора вообще нигде не сходится?
Есть примеры, когда он сходится везде, как для экспоненты.
Чаще он сходится в круге (радиусом равным расстоянию до ближайшего полюса).

Вопрос возник из темы http://dxdy.ru/post1559479.html#p1559479
Ряд строится методом неопределенных коэффициентов. Явно выразить все коэффициенты формулой не получается.
Алгоритмически получилось найти 60 порядков. Если построить график для 30 порядков, а потом для 60 порядков, то для 60 график идёт вразнос раньше (около 0.27) чем для 30 (около 0.5).
(Обычно, например для синуса, если взять больше порядков, то в более широкой области многочлен будет похож на синус.)
Это наводит на мысль (хотя и не доказывает), что наверно этот ряд вообще ни в какой окрестности не сходится.

[nnosipov]

zykov в сообщении #1562938 писал(а):

Может ли так быть, что ряд Тэйлора вообще нигде не сходится?

Любой ряд Тейлора сходится в нуле. Но, конечно, бывают бесконечно гладкие (но не аналитические) функции, для которых их ряд Тейлора сходится только в нуле.

[zykov]

nnosipov
Это наверно про то, схоится ряд к самой функции или не к ней.
Тут же вопрос про то, что если ряд вообще расходится (кроме центральной точки). Может такое быть?

[Anton_Peplov]

zykov
Есть замечательная книга. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. Любой вопрос вида "а бывает ли такая странная штука" стоит в первую очередь проверять по оглавлению этой книги (она, кстати, несколько шире собственно математического анализа).
Конкретно на Ваш вопрос отвечает пример 24 со с. 91 в издании 1967 г.

[mihaild]

И несколько более общий результат: любая последовательность является коэффициентами ряда Тейлора некоторой гладкой функции.

[zykov]

Anton_Peplov
А можно сюда кратко скинуть, в чём там суть?

-- 17.08.2022, 13:54 --

mihaild
А поподробнее?
Вот если взять последовательность коэффициентов растущих быстрее любой экспоненты (например факториалы), то такой ряд будет расходится везде кроме центральной точки.

[Anton_Peplov]

zykov в сообщении #1562945 писал(а):

А можно сюда кратко скинуть, в чём там суть?

Строится функция

$$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty e^{-n} \cos n^2 x $$

и для нее доказывается все что надо. Как доказывается, сюда переписывать не буду, качайте книжку, она в интернете есть.

[mihaild]

zykov в сообщении #1562945 писал(а):

А поподробнее?

О существовании bump function (гладкая, на $[-1/2, 1/2]$ единица, вне $[-1, 1]$ ноль) вы знаете? Вот постройте из неё гладкую функцию, у который первые $k - 1$ производных не превосходят $2^{-k}$ (везде), в нуле $k$-я производная равна $a_k$, а остальные производные в нуле равны нулю. Дальше просуммируйте ряд из таких функций, продифференцируйте его почленно (благо он сходится равномерно вместе со всеми производными) и посмотрите на его производные.

[nnosipov]

zykov в сообщении #1562940 писал(а):

Это наверно про то, схоится ряд к самой функции или не к ней.

Нет, я имел в виду ровно, что Вы хотели.

В принципе, все уже объяснили.

[zykov]

Понятно.
А с точки зрения ТФКП тут есть какая-то трактовка?
Например в некоторой проколотой окрестности этой точки функция аналитическая, в этой точке есть ряд Тэйлора, но этот ряд везде расходится кроме самой точки.
Или такого не может быть?

[nnosipov]

zykov в сообщении #1562954 писал(а):

Например в некоторой проколотой окрестности этой точки функция аналитическая, в этой точке есть ряд Тэйлора, но этот ряд везде расходится кроме самой точки.
Или такого не может быть?

Если "проколотую" убрать, то такого быть не может. Иными словами, "аналитические функции"="те, которые представимы своими рядами Тейлора". Ну, а так годится тот же пример.

[mihaild]

nnosipov в сообщении #1562955 писал(а):

Ну, а так годится тот же пример

Нет, в комплексной плоскости это же не будет рядом Тейлора (потому что функция в окрестности нуля вообще неограничена).
zykov, если есть ряд Тейлора - то функция дифференцируема в точке. Если функция дифференцируема в точке и в проколотой окрестности, то она дифференцируема в окрестности, а значит аналитическая и ряд Тейлора сходится к самой функции в окрестности.

[nnosipov]

mihaild в сообщении #1562956 писал(а):

потому что функция в окрестности нуля вообще неограничена

Ну вот функция $e^{-1/z^2}$ неограниченна в окрестности нуля, но в любой точке $z=z_0 \neq 0$ является аналитической.

Я плохо помню детали той конструкции с "шапочками", но мне всегда казалось, что вне нуля эта функция аналитическая (она только в нуле плохая). Нет?

-- Ср авг 17, 2022 20:06:44 --

А, кажется, дошло, что имелось в виду: в ТФКП наличие ряда Тейлора в точке эквивалентно дифференцируемости в окрестности точки.

[mihaild]

nnosipov в сообщении #1562957 писал(а):

Я плохо помню детали той конструкции с "шапочками", но мне всегда казалось, что вне нуля эта функция аналитическая

У отдельной шапочки 4 плохих точки (где она переходит в константу). Если мы строим произвольную последовательность производных в нуле - то там получаются сжимающиеся шапочки, соответственно счетное множество плохих точек, имеющee ноль предельной точкой.

[nnosipov]

Да, действительно.