задача по геометрии (треугольник, медианы)

[kel]

В треугольнике АВС проведены едианы АА1 и СС1. Точка М - точка пересечения даных медиан. Окружности, вписаные в треугольники АС1М и ВМС1 имеют одинаковые радиусы. Найти площать треугольника АВС, если АС=5, АВ=8

[ewert]

Жульническая задачка. Если радиусы равны, то треугольник -- равнобедренный, с вытекающими отсюда последствиями.

[kel]

а как это доказать?

Добавлено спустя 25 секунд:

треугольник АВС- равнобедренный?

[ewert]

Допустим, некий треугольник делится медианой на две половинки, и в каждую вписана окружность. Площади половинок равны. Если радиусы тоже совпадают, то совпадают и периметры. Т.е. совпадают боковые стороны. Ч.т.д.

(а если равнобедренен АВМ, то и АВС -- тоже)

[sergey1]

Обе окружности должны коснуться $C_1M$ в одной точке, значит, линия центров перпендикулярна медиане, а значит, и сторона АВ перпендикулярна медиане.

[kel]

а почему обе окружности должны!!! коснуться в одной точке?

[sergey1]

А у них радиусы одинаковые!

Наврал, не должны.

[ewert]

не аргумент

[kel]

вот, например, если нарисовать два смежных угла АВС и ВСД и ВС - их общая сторон. Можно нарисовать две окружности одинакового радиуса, касающиеся сторон сооответствующих углов, но тогда получается, что даные окружности не касаються друг друга в одной точке

[ewert]

но тогда и ВС не будет медианой

[Батороев]

Поначалу с кандачка тоже начали мерещиться разные способы доказательства.

Похоже, самый убедительный - этот:

ewert писал(а):

Допустим, некий треугольник делится медианой на две половинки, и в каждую вписана окружность. Площади половинок равны. Если радиусы тоже совпадают, то совпадают и периметры. Т.е. совпадают боковые стороны. Ч.т.д.

(а если равнобедренен АВМ, то и АВС -- тоже)

и кстати - красивый.