2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 задача по геометрии (треугольник, медианы)
Сообщение06.11.2008, 10:57 
В треугольнике АВС проведены едианы АА1 и СС1. Точка М - точка пересечения даных медиан. Окружности, вписаные в треугольники АС1М и ВМС1 имеют одинаковые радиусы. Найти площать треугольника АВС, если АС=5, АВ=8

 
 
 
 
Сообщение06.11.2008, 11:06 
Жульническая задачка. Если радиусы равны, то треугольник -- равнобедренный, с вытекающими отсюда последствиями.

 
 
 
 
Сообщение06.11.2008, 11:08 
а как это доказать?

Добавлено спустя 25 секунд:

треугольник АВС- равнобедренный?

 
 
 
 
Сообщение06.11.2008, 11:13 
Допустим, некий треугольник делится медианой на две половинки, и в каждую вписана окружность. Площади половинок равны. Если радиусы тоже совпадают, то совпадают и периметры. Т.е. совпадают боковые стороны. Ч.т.д.

(а если равнобедренен АВМ, то и АВС -- тоже)

 
 
 
 
Сообщение06.11.2008, 11:16 
Обе окружности должны коснуться $C_1M$ в одной точке, значит, линия центров перпендикулярна медиане, а значит, и сторона АВ перпендикулярна медиане.

 
 
 
 
Сообщение06.11.2008, 11:33 
а почему обе окружности должны!!! коснуться в одной точке?

 
 
 
 
Сообщение06.11.2008, 11:34 
А у них радиусы одинаковые!

Наврал, не должны.

 
 
 
 
Сообщение06.11.2008, 11:35 
не аргумент

 
 
 
 
Сообщение06.11.2008, 11:39 
вот, например, если нарисовать два смежных угла АВС и ВСД и ВС - их общая сторон. Можно нарисовать две окружности одинакового радиуса, касающиеся сторон сооответствующих углов, но тогда получается, что даные окружности не касаються друг друга в одной точке

 
 
 
 
Сообщение06.11.2008, 12:27 
но тогда и ВС не будет медианой

 
 
 
 
Сообщение06.11.2008, 20:06 
Поначалу с кандачка тоже начали мерещиться разные способы доказательства.
:oops:
Похоже, самый убедительный - этот:
ewert писал(а):
Допустим, некий треугольник делится медианой на две половинки, и в каждую вписана окружность. Площади половинок равны. Если радиусы тоже совпадают, то совпадают и периметры. Т.е. совпадают боковые стороны. Ч.т.д.

(а если равнобедренен АВМ, то и АВС -- тоже)

и кстати - красивый.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group