Приближенное вычисление квадратного корня

[Apinkman]

В Зориче нашел рекурентное соотношение $x_{n+1}= \frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$. Утверждается, что с помощью него можно найти приближенное значение кввадратного корня из $a$. И действительно, если предполодить, что предел последовательности ${x_n}$ существует, то он будет равен $\sqrt{a}$.
Но если возвести формулу для $x_{n+1}$ в квадрат, то получится, что $x_{n+1}^2 =\frac{1}{4} (x_n^2 + \frac{1}{x_n^2}) + \frac{a}{2}$ и за счет постоянной добавки $\frac{a}{2}$ получаем, что ряд расходится.
Где я допускаю ошибку в расуждениях?

[ozheredov]

Apinkman
У Вас был итеративный алгоритм с уменьшающимся по определенной формуле шагом, этот алгоритм сходился, т.е. как бы имел асимптотическую точку останова. Вы придумали другой алгоритм, шаг которого содержит постоянное слагаемое, этот алгоритм перестал останавливаться. Такое пойдет?

[Otta]

Apinkman

Apinkman в сообщении #1562370 писал(а):

Где я допускаю ошибку в расуждениях?

1) Совершенно незачем возводите в квадрат,
2) Делаете это с ошибкой.

Тут надо использовать критерий Вейерштрасса.

[nnosipov]

Apinkman в сообщении #1562370 писал(а):

Но если возвести формулу для $x_{n+1}$ в квадрат, то получится, что $x_{n+1}^2 =\frac{1}{4} (x_n^2 + \frac{1}{x_n^2}) + \frac{a}{2}$ и за счет постоянной добавки $\frac{a}{2}$ получаем, что ряд расходится.

Во-первых, неправильно возвели в квадрат. Во-вторых, о постоянной добавке к чему идет речь? (Подозреваю, что Вы забыли про множитель $1/4$ перед $x_n^2$.) В-третьих, никаких рядов здесь нет.

[Otta]

nnosipov в сообщении #1562380 писал(а):

Подозреваю, что Вы забыли про множитель $1/4$ перед $x_n^2$.

Это не объясняет, почему ошибок две :)

[ozheredov]

nnosipov в сообщении #1562380 писал(а):

Во-вторых, о постоянной добавке к чему идет речь?

Я так понял, что он хочет построить новый алгоритм на основе старого: алгоритм стартует с произвольной точки и сходится к исходному числу $a$. Добавка к разности между результатами на последующей и предыдущей итерациях. Если правильно возвести в квадрат, добавка же ж все равно будет?

[Otta]

ozheredov
Он хочет решить задачу из Зорича. Там все равно, откуда стартует алгоритм, лишь бы точка была положительна.
Вы можете изложить свою гипотезу о том, чего ТС хочет, как-то иначе, я совершенно не понимаю, о чем у Вас речь.

ozheredov в сообщении #1562382 писал(а):

Если правильно возвести в квадрат, добавка же ж все равно будет?

Какая добавка? Чем она структурно отличается от всего остального? Чем мешает? Константа? Ну а там - просто положительное число. Чем лучше?

[nnosipov]

ozheredov в сообщении #1562382 писал(а):

добавка же ж все равно будет?

К чему добавка? Имеем $x_{n+1}^2 \approx 1/4 \cdot x_n^2+a/2$. Константа $a/2$ добавляется не к $x_n^2$, а к $1/4 \cdot x_n^2$. В итоге $x_n^2$ имеет вполне конечный предел, а не убегает на бесконечность, как показалось ТС.

[ozheredov]

Otta
nnosipov
Извиняюсь, проверил - всё там хорошо ))

[Otta]

Кхм. $1/{x_n}$ тоже не в ноль убегает. Как, возможно, кому-то показалось.

[alcoholist]

Apinkman в сообщении #1562370 писал(а):

за счет постоянной добавки $\frac{a}{2}$ получаем, что ряд расходится.
Где я допускаю ошибку в расуждениях?

из того, что итерация имеет вид $x_{n+1}=f(x_n)+c$, вовсе не следует, что последовательность $x_n$ не сходится

[ozheredov]

alcoholist
Это особенно заметно, когда $f(x_n) = g(x_n) - c$

[TOTAL]

Apinkman в сообщении #1562370 писал(а):

В Зориче нашел рекурентное соотношение $x_{n+1}= \frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$.

Это итерационный метод Ньютона для решения уравнения $x^2 - a =0$. Сходится квадратично.

[Евгений Машеров]

Apinkman в сообщении #1562370 писал(а):

Где я допускаю ошибку в расуждениях?

Для начала - в вычислениях. У Вас кое-что в числителе убежало. А когда сделаете, как надо, то получите выражение, увидя которое Нобель устыдится и создаст Нобелевку по математике:
$a=\frac 1 4 (a+a)+\frac a 2$

-- 12 авг 2022, 18:43 --

ozheredov в сообщении #1562374 писал(а):

Такое пойдет?

Не пойдёт. Предложенный алгоритм после исправления ошибки тоже сходится. Только не к корню из a, а к самому a.

[ozheredov]

Евгений Машеров в сообщении #1562561 писал(а):

Не пойдёт

Да я уже понял ))) Не сразу дошло, где у него была ошибка