2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение10.08.2022, 17:41 
В Зориче нашел рекурентное соотношение $x_{n+1}= \frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$. Утверждается, что с помощью него можно найти приближенное значение кввадратного корня из $a$. И действительно, если предполодить, что предел последовательности ${x_n}$ существует, то он будет равен $\sqrt{a}$.
Но если возвести формулу для $x_{n+1}$ в квадрат, то получится, что $x_{n+1}^2 =\frac{1}{4} (x_n^2 + \frac{1}{x_n^2}) + \frac{a}{2}$ и за счет постоянной добавки $\frac{a}{2}$ получаем, что ряд расходится.
Где я допускаю ошибку в расуждениях?

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение10.08.2022, 18:22 
Apinkman
У Вас был итеративный алгоритм с уменьшающимся по определенной формуле шагом, этот алгоритм сходился, т.е. как бы имел асимптотическую точку останова. Вы придумали другой алгоритм, шаг которого содержит постоянное слагаемое, этот алгоритм перестал останавливаться. Такое пойдет?

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение10.08.2022, 18:43 
Apinkman
Apinkman в сообщении #1562370 писал(а):
Где я допускаю ошибку в расуждениях?

1) Совершенно незачем возводите в квадрат,
2) Делаете это с ошибкой.

Тут надо использовать критерий Вейерштрасса.

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение10.08.2022, 18:49 
Apinkman в сообщении #1562370 писал(а):
Но если возвести формулу для $x_{n+1}$ в квадрат, то получится, что $x_{n+1}^2 =\frac{1}{4} (x_n^2 + \frac{1}{x_n^2}) + \frac{a}{2}$ и за счет постоянной добавки $\frac{a}{2}$ получаем, что ряд расходится.
Во-первых, неправильно возвели в квадрат. Во-вторых, о постоянной добавке к чему идет речь? (Подозреваю, что Вы забыли про множитель $1/4$ перед $x_n^2$.) В-третьих, никаких рядов здесь нет.

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение10.08.2022, 19:01 
nnosipov в сообщении #1562380 писал(а):
Подозреваю, что Вы забыли про множитель $1/4$ перед $x_n^2$.

Это не объясняет, почему ошибок две :)

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение10.08.2022, 19:01 
nnosipov в сообщении #1562380 писал(а):
Во-вторых, о постоянной добавке к чему идет речь?


Я так понял, что он хочет построить новый алгоритм на основе старого: алгоритм стартует с произвольной точки и сходится к исходному числу $a$. Добавка к разности между результатами на последующей и предыдущей итерациях. Если правильно возвести в квадрат, добавка же ж все равно будет?

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение10.08.2022, 19:06 
ozheredov
Он хочет решить задачу из Зорича. Там все равно, откуда стартует алгоритм, лишь бы точка была положительна.
Вы можете изложить свою гипотезу о том, чего ТС хочет, как-то иначе, я совершенно не понимаю, о чем у Вас речь.
ozheredov в сообщении #1562382 писал(а):
Если правильно возвести в квадрат, добавка же ж все равно будет?

Какая добавка? Чем она структурно отличается от всего остального? Чем мешает? Константа? Ну а там - просто положительное число. Чем лучше?

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение10.08.2022, 19:13 
ozheredov в сообщении #1562382 писал(а):
добавка же ж все равно будет?
К чему добавка? Имеем $x_{n+1}^2 \approx 1/4 \cdot x_n^2+a/2$. Константа $a/2$ добавляется не к $x_n^2$, а к $1/4 \cdot x_n^2$. В итоге $x_n^2$ имеет вполне конечный предел, а не убегает на бесконечность, как показалось ТС.

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение10.08.2022, 19:23 
Otta
nnosipov
Извиняюсь, проверил - всё там хорошо ))

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение10.08.2022, 19:23 
Кхм. $1/{x_n}$ тоже не в ноль убегает. Как, возможно, кому-то показалось.

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение10.08.2022, 22:58 
Аватара пользователя
Apinkman в сообщении #1562370 писал(а):
за счет постоянной добавки $\frac{a}{2}$ получаем, что ряд расходится.
Где я допускаю ошибку в расуждениях?

из того, что итерация имеет вид $x_{n+1}=f(x_n)+c$, вовсе не следует, что последовательность $x_n$ не сходится

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение11.08.2022, 12:26 
alcoholist
Это особенно заметно, когда $f(x_n) = g(x_n) - c$ :-)

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение12.08.2022, 10:54 
Аватара пользователя
Apinkman в сообщении #1562370 писал(а):
В Зориче нашел рекурентное соотношение $x_{n+1}= \frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n})$.
Это итерационный метод Ньютона для решения уравнения $x^2 - a =0$. Сходится квадратично.

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение12.08.2022, 18:41 
Аватара пользователя
Apinkman в сообщении #1562370 писал(а):
Где я допускаю ошибку в расуждениях?


Для начала - в вычислениях. У Вас кое-что в числителе убежало. А когда сделаете, как надо, то получите выражение, увидя которое Нобель устыдится и создаст Нобелевку по математике:
$a=\frac 1 4 (a+a)+\frac a 2$

-- 12 авг 2022, 18:43 --

ozheredov в сообщении #1562374 писал(а):
Такое пойдет?


Не пойдёт. Предложенный алгоритм после исправления ошибки тоже сходится. Только не к корню из a, а к самому a.

 
 
 
 Re: Приближенное вычисление квадратного корня
Сообщение12.08.2022, 20:48 
Евгений Машеров в сообщении #1562561 писал(а):
Не пойдёт

Да я уже понял ))) Не сразу дошло, где у него была ошибка

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group