Функция распределения

[Andrey from Mos]

В книге Вентцель нашел задачу на стр. 74-75.

Там дана прерывистая (прерывная) величина, и для нее строят функцию распределения.
Пишут:
1) при $x\leqslant 0$ функция распределения $F(x)=P(X<x)=0$
2) при $0<x\leqslant 1$ функция распределения $F(x)=P(X<x)=P(X=0)=0,7$

и т.д.
А потом написано: "График функции распределения представлен на рис. 5.2.3. В точках разрыва функция $F(X)$ принимает значения, отмеченные на чертеже точками (функция непрерывна слева)."
И дана картинка


Как же может быть в точке 0 значение функции равным 0,7? ($P(X=0)=0,7$). Ведь в точке разрыва функция должна принимать значение, отмеченное точкй, а, значит, все еще быть равной 0.

[Someone]

Andrey from Mos в сообщении #1562088 писал(а):

Как же может быть в точке 0 значение функции равным 0,7?

А где там написано, что $F(0)=0{,}7$?

Andrey from Mos в сообщении #1562088 писал(а):

Там дана прерывистая (прерывная) величина

Случайная величина, принимающая конечное или счётное множество значений, называется дискретной.

[Александрович]

Andrey from Mos в сообщении #1562088 писал(а):

Там дана прерывистая (прерывная) величина, и для нее строят функцию распределения.

Там дана непрерывная св.

[Andrey from Mos]

Вы хотите сказать, что в $F(0)$, это функция в точке разрыва? И значение ее тогда (согласно вышеприведенному тексту) равно 0 (то есть значению, помеченному жирной точкой)?
А уже на интервале $0<x\leqslant 1$ значение функции равно вероятности, что $X=0$ ($P(X=0)$). Икс при этом уже больше нуля и это не значение функции в точке 0.
Термин "дискретный" у автора не употребляется. Она делит св. на прерывные и непрерывные. Вероятно, в то время это называлось так

[Someone]

Andrey from Mos в сообщении #1562093 писал(а):

Термин "дискретный" у автора не употребляется.

Употребляется. Откройте параграф 2.4 и там найдёте. И в параграфе 5.1 тоже употребляется, правда, уже в скобочках. Но Вентцель явно предпочитает термин "прерывная случайная величина". Я, честно говоря, эту книгу никогда не читал, а в тех книгах, которые я читал, используется термин "дискретная случайная величина".

[alcoholist]

Someone в сообщении #1562090 писал(а):

А где там написано, что $F(0)=0{,}7$?

конечно, не написано

Цитата:

2) при $0<x\le 1$

$$ F(x)=P(X<x)=P(0)=0.7; $$

В этой книге функция распределения (cdf) непрерывна слева (а не справа, как обычно).

-- Пн авг 08, 2022 09:11:07 --

Andrey from Mos в сообщении #1562088 писал(а):

Как же может быть в точке 0 значение функции равным 0,7? ($P(X=0)=0,7$). Ведь в точке разрыва функция должна принимать значение, отмеченное точкй, а, значит, все еще быть равной 0.

$F(0)\ne P(0)$

[Someone]

alcoholist в сообщении #1562102 писал(а):

В этой книге функция распределения (cdf) непрерывна слева (а не справа, как обычно).

Может быть Вам это покажется странным, но для меня функция распределения случайной величины "обычно" непрерывна слева: почти во всей литературе по теории вероятностей и математической статистике, которой мне случалось пользоваться, функция распределения определяется именно как $F_X(x)=\mathbf P(X<x)$. Хотя альтернативное определение $F_X(x)=\mathbf P(X\leqslant x)$ мне тоже встречалось (например, у Феллера).

[alcoholist]

Someone в сообщении #1562109 писал(а):

Может быть Вам это покажется странным

Да, мне это кажется странным. Но я не "вероятностник", поэтому в моей картине мира это ничего не меняет:))

Хорошо бы иметь все ошибочные представления (о том, что "обычно" и что "необычно") только о непринципиальных моментах.

P.S. У Колмогорова в "Основах" непрерывна слева, так что сдаюсь.

[Andrey from Mos]

Очевидно, сбивает привычное для меня понимание функции - $F(x)=$ значение функции в точке $x$
А здесь же получается, что $F(x)=$ значение функции в точке $X<x$
Надеюсь, математиков таким рассуждением не обидел

PS: Полагаю, что слово "дискретный" в стародавние времена было какой-то новинкой. Вот его и не использовали

[Brukvalub]

Andrey from Mos в сообщении #1562138 писал(а):

А здесь же получается, что $F(x)=$ значение функции в точке $X<x$

Нет, не получается.

[alcoholist]

Andrey from Mos в сообщении #1562138 писал(а):

А здесь же получается, что

как было сказано выше, у Вентцель функция распределения непрерывна слева, то есть $F(x)=\lim\limits_{t\to x-0}F(t)$

[Otta]

Andrey from Mos в сообщении #1562138 писал(а):

А здесь же получается, что $F(x)=$ значение функции в точке $X<x$

Какой функции?

[alcoholist]

Otta в сообщении #1562171 писал(а):

Какой функции?

что за точка $X$? Это же случайная величина:)

[Otta]

alcoholist в сообщении #1562205 писал(а):

что за точка $X$? Это же случайная величина:)

Вопрос к ТС.

[Andrey from Mos]

А что, случайную величину нельзя отобразить на числовой прямой? Получается "случайная" точка, местоположение которой изменяется случайным образом

Вот фраза Вентцель: "Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину $X$ как случайную
точку $X$ на оси Ох (рис. 5.2.1)" (стр. 73)

Что касается предела $F(x)=\lim\limits_{t\to x-0} F(t)$, то мне сдается, что это означает приближение к $x$ слева, и что предел равен нулю.
Таким образом: $F(0)=0$
Предполагаю, что $F(t)=0$ для $t\leqslant 0$


Но автор объясняет не с помощью пределов, а тем, что значение $F(x)=P(X<x)$. И если это интерпретировать описательным образом, то аргумент вероятности как бы отстает от аргумента функции: у функции это $x$, а у вероятности это значение $X$, которое меньше $x$. Это такое литературно-художественное видение

На предыдущие вопросы: речь про функцию распределения $F(x)$ случайной величины $X$ (икс большое). А $x$ (икс малое) - текущая переменная