Задачник по алгебре под ред. Кострикина, задача 19.9

[Kuga]

Задача. Доказать, что для любой квадратной комплексной матрицы $X$ существует матрица $Y$ такая что

$$XYX=X$$ $$ YXY=Y $$

и матрицы $XY$ и $YX$ эрмитовы.

В принципе я решал как в указании, матрицу $УY$ можно найти так:
Пусть $r$ - ранг матрицы $X$. Обозначим

$$ I_r=E_{11}+...+E_{rr} $$

Тогда путем элементарных преобразований строк и столбцов можно привести $X$ к матрице $I_r$:

$$ UXV=I_r $$

Соотношения $XYX=X$, $YXY=Y$ будут выполнено если положить $Y=VI_rU$. Тогда $XY=U^{-1}I_rU$. Но дальше непонятно. Как отсюда следует, что $XY$ эрмитова? В общем случае же $U$ не унитарна...

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Slav-27]

Можно сказать проще: $X$ задаёт изоморфизм $(\ker X)^\perp\to\operatorname{im}X$, $Y$ определяем на $\operatorname{im}X$ как обратный изоморфизм и на $(\operatorname{im}X)^\perp$ нулём. С таким определением все нужные свойства очевидны, как мне кажется.

[Kuga]

Slav-27 в сообщении #1561751 писал(а):

Можно сказать проще: $X$ задаёт изоморфизм $(\ker X)^\perp\to\operatorname{im}X$, $Y$ определяем на $\operatorname{im}X$ как обратный изоморфизм и на $(\operatorname{im}X)^\perp$ нулём. С таким определением все нужные свойства очевидны, как мне кажется.

В принципе интуитивно я так и представлял решение, только не мог формализовать. Но дело вот в чем. Так как я уже начал решать через элементарные преобразования, и мой начальный метод решения в принципе совпал с тем, которое приведено в указании (надо учесть, что задача из первой части задачника где предполагается, что про ker и im еще ничего не известно), то хотелось бы дорешать этим методом все-таки...

[Slav-27]

Можно подумать, почему

Kuga в сообщении #1561743 писал(а):

$Y=VI_rU$

-- эта та самая матрица, которую я описал. Лично я сходу не вижу, почему, и вообще не до конца понимаю, как вы её построили. Но если у вас всё правильно, то должно получаться то же, что и у меня, потому что матрица $Y$ с такими свойствами

Kuga в сообщении #1561743 писал(а):

$XYX=X$,
$YXY=Y$ и матрицы $XY$ и $YX$ эрмитовы.

единственна.

[vpb]

Kuga в сообщении #1561762 писал(а):

то хотелось бы дорешать этим методом все-таки...

Та же история, что и в другой вашей теме, т.е. ляп в задачнике.

[Kuga]

В этом задачнике очень много ляпов. Некоторые достаточно завуалированы. Но очень много и откровенных ляпов. Наверное связано с тем, что очень много авторов задачника, каждый думал что ошибки должны исправлять другие. К сожалению издание 2021 года почти идентично изданию 2001 года, т.е. за 20 лет никто так ничего и не исправил.