Уравнение Шрёдингера

[Asphy]

Здравствуйте!
Начал изучать квантовую физику и непонятно, откуда взялось уравнение Шрёдингера.
Собственно, вопрос в том, как именно оно было получено, что явилось предпосылкой?
Может быть оно было получено на примере другого (классического) волнового уравнения с последующей интуитивной заменой «классических» коэффициентов перед дифференциальными операторами на «квантовые»?

[DimaM]

Уравнение Шредингера - это по сути нерелятивистский закон сохранения энергии

$$E=\frac{p^2}{2m}+U,$$

в котором величины заменены на операторы

$$E\to i\hbar\frac{\partial}{\partial t},\quad {\bf p}\to -i\hbar\nabla,\quad U\to U.$$

[lel0lel]

Волна де Бройля является решением этого уравнения. А гипотеза о волнах была до появления аппарата КМ. А так, никакого строгого вывода нет.

[Asphy]

DimaM
Это то понятно, но почему операторы выглядят именно так? Нельзя же было просто взять и придумать их, они неинтуитивны совершенно и никак не следуют напрямую из гипотезы де Бройля и вообще волновой природы частиц.

-- 22.07.2022, 14:29 --

lel0lel
Это понятно, что она является решением для случая движения частицы в отсутствие силовых полей. Но это не даёт ответа на вопрос, как Шрёдингер получил это уравнение. Просто эмпирически подбирал коэффициенты волнового уравнения, пока не сойдётся с решением? Вряд ли…

[DimaM]

Asphy в сообщении #1560772 писал(а):

Это то понятно, но почему операторы выглядят именно так? Нельзя же было просто взять и придумать их, они неинтуитивны совершенно и никак не следуют напрямую из гипотезы де Бройля и вообще волновой природы частиц.

Как-то следуют.
Свободной частице соответствует плоская волна $\Psi=A\exp(i({\bf kr})-i\omega t)$. По аналогии с фотонами $\omega=E/\hbar, {\bf k}={\bf p}/\hbar$.
Отсюда получаем

$$i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=E\Psi,\quad -i\hbar\nabla\Psi={\bf p}\Psi.$$

[Asphy]

DimaM в сообщении #1560774 писал(а):

Asphy в сообщении #1560772 писал(а):

Это то понятно, но почему операторы выглядят именно так? Нельзя же было просто взять и придумать их, они неинтуитивны совершенно и никак не следуют напрямую из гипотезы де Бройля и вообще волновой природы частиц.

Как-то следуют.
Свободной частице соответствует плоская волна $\Psi=A\exp(i({\bf kr})-i\omega t)$. По аналогии с фотонами $\omega=E/\hbar, {\bf k}={\bf p}/\hbar$.
Отсюда получаем

$$i\hbar\frac{\partial E}{\partial t}=E\Psi,\quad -i\hbar\nabla\Psi={\bf p}\Psi.$$

Вас не затруднит расписать то, как Вы получили последние уравнения ? Остаточные знания теоретической механики подсказывают мне, будто здесь применён принцип Гамильтона. Видимо, придётся перечитать

[DimaM]

Asphy в сообщении #1560775 писал(а):

Вас не затруднит расписать то, как Вы получили последние уравнения ?

Просто подставляем вместо $\Psi$ выражение выше.

[svv]

В первом уравнении имелось в виду
$i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}=E\Psi$

[zykov]

Asphy в сообщении #1560753 писал(а):

Может быть оно было получено на примере другого (классического) волнового уравнения с последующей интуитивной заменой «классических» коэффициентов перед дифференциальными операторами на «квантовые»?

Как именно исторически было получено - не могу сказать.
Но в классической механике к тому времени уже были хорошо известны формализмы Лагранжа и Гамильтона.
Вполне могли по аналогии с ними создавать.
Да и впоследствии связь между квантовой и классической механикой через них устанавливается.

[DimaM]

svv в сообщении #1560791 писал(а):

В первом уравнении имелось в виду

Спасибо, поправил.

[Cos(x-pi/2)]

В УФН (наверное и ещё где-нибудь, в других местах не смотрел) есть в разделе "Из истории физики" интересные воспоминания Дирака о становлении квантовой механики. Там говорится и о том, как Шрёдингер пришёл к своему знаменитому уравнению (хотя, конечно, Дирак больше пишет о своих исследованиях):

https://ufn.ru/ru/articles/1979/8/e/
Релятивистское волновое уравнение электрона
П.А.М. Дирак (1977)

https://ufn.ru/ru/articles/1987/9/c/
Воспоминания о необычайной эпохе
П.А.М. Дирак (1972)

Научные статьи самого Шрёдингера про уравнение Шрёдингера:

https://ufn.ru/ru/articles/1977/8/f/
Квантование как задача о собственных значениях
Э. Шрёдингер (1926, первое сообщение)

https://ufn.ru/ru/articles/1927/3/b/
Волновая теория механики атомов и молекул
Э. Шредингер (1926)

[Asphy]

Cos(x-pi/2)
Спасибо !

[Ascold]

Ещё можно посмотреть вторые главы учебников Бома и Шиффа - там УШ строится из квазиклассического приближения волновым пакетом, мне в своё время после этого полегчало.

[Pulseofmalstrem]

Так уравнение Шредингера сам Шредингер получил исходя из идеи о том, что переход от волновой механики к классической должен быть таким же как и переход от волновой оптики к оптике геометрической. Другими словами, он искал такое волновое уравнение, которое с учетом его гипотезы о волнах материи, в геометрическом пределе сводилось бы к механике Гамильтона, где системы эволюционируют вдоль траекторий-"лучей" в фазовом пространстве, где в качестве функции оптической длины пути выступает интеграл действия. Поправьте меня, если я неправ.

[Ascold]

Pulseofmalstrem в сообщении #1561702 писал(а):

Так уравнение Шредингера сам Шредингер получил исходя из идеи о том, что переход от волновой механики к классической должен быть таким же как и переход от волновой оптики к оптике геометрической.... Поправьте меня, если я неправ.

Вы правы. Однако вне контекста и атмосферы эпохи этот путь для первого чтения может показаться не вполне естественным.
Хотя у кого какие мозги. Есть в этом стиле старинная книжка Де Бройля "Волновая механика" 1932 года, неплохо и подробно написана.