Двойной ряд

[Vince Diesel]

Стандартно с помощью производящих функций. Надо проинтегрировать функцию

$$ \sum_{m,n=0}^\infty x^my^n t^{m+n+1}=\frac{t}{(1-tx)(1-ty)} $$

по кубу $[0,1]^3$. Для ряда

$$ \sum_{k,m,n=1}^\infty\frac{1}{kmn(k+m+n)} $$

аналогично выходит $6\zeta(4)$.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1561639 писал(а):

Как решать не знаю, ответа тоже не знаю.

Так и никто не знает.

А вообще, есть хоть какой-нибудь ряд по простым числам, сумма которого известна (выражается через известные константы)?

[zykov]

nnosipov в сообщении #1561645 писал(а):

А вообще, есть хоть какой-нибудь ряд по простым числам

Только тождество Эйлера знаю.
Там правда произведение, а не сумма. Но можно логарифм взять.

[RIP]

zykov в сообщении #1561630 писал(а):

Вольфрам-альфа выдаёт $\sum_{m=1}^{\infty} \frac{H_m}{m^2} = 2 \zeta(3)$.

Это известное равенство Эйлера $\zeta(2,1)=\zeta(3)$ (эквивалентно: $\zeta^{*}(2,1)=2\zeta(3)$).

[novichok2018]

И ряд одинарный обратных квадратов по простым не суммируется явно?

[alcoholist]

Vince Diesel в сообщении #1561644 писал(а):

Стандартно с помощью производящих функций

и как отсюда извлечь по взаимно простым? Через какое решето?

[novichok2018]

По поводу ряда обратных квадратов по простым - нашёл всё нужное во введении к первому тому Анализа Эйлера. Похоже nnosipov прав - никаких рядов с явной суммой по простым нет, кроме очевидностей. Как всегда есть повод для восхищения - как глубоко Эйлер разобрал подобные задачи, и по всем числам, одинарные и двойные ряды, начиная с дзеты, и ряды по простым, включая подробный счёт. Я восхищён, королева! (Король!)

[nnosipov]

alcoholist в сообщении #1561651 писал(а):

Через какое решето?

Да здесь все просто из-за однородности знаменателя: при подстановке $m=dm_1$, $n=dn_1$ (где $d=\gcd{(m,n)}$) в $mn(m+n)$ получим $d^3m_1n_1(m_1+n_1)$.