2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Двойной ряд
Сообщение01.08.2022, 18:32 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Стандартно с помощью производящих функций. Надо проинтегрировать функцию
$$
\sum_{m,n=0}^\infty x^my^n t^{m+n+1}=\frac{t}{(1-tx)(1-ty)}
$$
по кубу $[0,1]^3$. Для ряда
$$
\sum_{k,m,n=1}^\infty\frac{1}{kmn(k+m+n)}
$$
аналогично выходит $6\zeta(4)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной ряд
Сообщение01.08.2022, 18:36 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
novichok2018 в сообщении #1561639 писал(а):
Как решать не знаю, ответа тоже не знаю.
Так и никто не знает.

А вообще, есть хоть какой-нибудь ряд по простым числам, сумма которого известна (выражается через известные константы)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной ряд
Сообщение01.08.2022, 18:50 


18/09/21
1676
nnosipov в сообщении #1561645 писал(а):
А вообще, есть хоть какой-нибудь ряд по простым числам
Только тождество Эйлера знаю.
Там правда произведение, а не сумма. Но можно логарифм взять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной ряд
Сообщение01.08.2022, 19:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
zykov в сообщении #1561630 писал(а):
Вольфрам-альфа выдаёт $\sum_{m=1}^{\infty} \frac{H_m}{m^2} = 2 \zeta(3)$.
Это известное равенство Эйлера $\zeta(2,1)=\zeta(3)$ (эквивалентно: $\zeta^{*}(2,1)=2\zeta(3)$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной ряд
Сообщение01.08.2022, 20:56 
Заблокирован


16/04/18

1129
И ряд одинарный обратных квадратов по простым не суммируется явно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной ряд
Сообщение01.08.2022, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
Vince Diesel в сообщении #1561644 писал(а):
Стандартно с помощью производящих функций

и как отсюда извлечь по взаимно простым? Через какое решето?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной ряд
Сообщение02.08.2022, 08:15 
Заблокирован


16/04/18

1129
По поводу ряда обратных квадратов по простым - нашёл всё нужное во введении к первому тому Анализа Эйлера. Похоже nnosipov прав - никаких рядов с явной суммой по простым нет, кроме очевидностей. Как всегда есть повод для восхищения - как глубоко Эйлер разобрал подобные задачи, и по всем числам, одинарные и двойные ряды, начиная с дзеты, и ряды по простым, включая подробный счёт. Я восхищён, королева! (Король!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной ряд
Сообщение02.08.2022, 10:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alcoholist в сообщении #1561651 писал(а):
Через какое решето?
Да здесь все просто из-за однородности знаменателя: при подстановке $m=dm_1$, $n=dn_1$ (где $d=\gcd{(m,n)}$) в $mn(m+n)$ получим $d^3m_1n_1(m_1+n_1)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group