Двойной ряд

[nnosipov]

Вот, на одном московском заборе случайно увидел:

$$\sum_{(m,n)=1}\frac{1}{mn(m+n)}=?$$

А что, довольно забавно, предлагаю развлечься. (Ответ там был, но без ответа интереснее.)

[ihq.pl]

Что такое $(m,n)$?

[hpbhpb]

ihq.pl в сообщении #1561592 писал(а):

Что такое $(m,n)$?

Наибольший общий делитель чисел $m и $n$.

[nnosipov]

Да, и числа $m$, $n$ считаются натуральными (целыми положительными).

[novichok2018]

Интересный частный случай - эта двойная сумма по всем простым числам.

[gris]

Из простых это подряд получается?
Вы числов подряд берёте? Нет, у меня подряд. Сложное...
А вот несколько членов для наглядности:

$$ \dfrac {1}{1\cdot 1\cdot 2} + \dfrac {1}{1\cdot 2\cdot 3} + \dfrac {1}{2\cdot 1\cdot 3} +\dfrac {1}{1\cdot 3\cdot 4} + \dfrac {1}{3\cdot 1\cdot 4} +\dfrac {1}{1\cdot 4\cdot 5}+ \dfrac {1}{4\cdot 1\cdot 5}+\dfrac {1}{2\cdot 3\cdot 5}+\dfrac {1}{3\cdot 2\cdot 5}+ ...$$

Правильно? Наверное, ряд сходится достаточно быстро и можно его на компьютере посчитать приближённо.

[zykov]

novichok2018
Почему простых?
Например 4 и 9 не простые, но взаимно простые ($gcd(4,9)=1$).

[nnosipov]

gris в сообщении #1561625 писал(а):

Наверное, ряд сходится достаточно быстро

Да я бы не сказал: чтобы получить пару верных знаков, нужно сложить примерно миллион дробей.

[zykov]

Если это сумма по всем взаимно простым парам m и n, то надо просуммировать то же выражение по всем целым m и n от 1 и выше и поделить на $\sum_{k=1}^{\infty} k^{-3} = \zeta(3)$.

-- 01.08.2022, 15:07 --

Если переписать $\frac{1}{n(n+m)}=\frac{1}{n} - \frac{1}{n+m}$, тогда сумму по всем значениям можно переписать как $\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^m \frac{1}{n m^2}$.
Сумма $\sum_{n=1}^m \frac{1}{n} = H_m$, где $H_m$ - m-ное гармоническое число.
Вольфрам-альфа выдаёт $\sum_{m=1}^{\infty} \frac{H_m}{m^2} = 2 \zeta(3)$.
Значит ответ равен 2.

[novichok2018]

zykov - поэтому я и сказал, что сумма по простым - частный случай. На самом деле это не частный случай даже, а просто аналогичная задача.
Нам подсказали, что медленно сходится. Поэтому, наверное, нужно к условно сходящемуся знакочередующемуся ряду сводить.

[zykov]

novichok2018 в сообщении #1561633 писал(а):

что медленно сходится

Для суммы $\sum_{m=1}^{M} \sum_{n=1}^m \frac{1}{n m^2}$ хвост имеет порядок $\frac{\ln M}{M}$.
Не сказать чтобы сильно медленно.

[novichok2018]

Формулирую в качестве добавки:
найти сумму

$$ \sum_{p,q=2}^\infty \frac{1}{pq(p+q)}, $$

где суммирование идёт по всем простым числам $p,q$.
Как решать не знаю, ответа тоже не знаю.

[Shadow]

zykov в сообщении #1561630 писал(а):

Если переписать $\frac{1}{n(n+m)}=\frac{1}{n} - \frac{1}{n+m}$

А это точно правда?

А, вы исправили, ясно - опечаточка.

zykov в сообщении #1561630 писал(а):

$\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^m \frac{1}{n m^2}$.

[zykov]

Shadow в сообщении #1561640 писал(а):

А это точно правда?

Да, опечатка, спасибо.
Должно быть $\frac{m}{n(n+m)}=\frac{1}{n} - \frac{1}{n+m}$.
Дальше всё верно, т.к. из правильной версии выводилось.

[nnosipov]

zykov в сообщении #1561630 писал(а):

Вольфрам-альфа
выдаёт $\sum_{m=1}^{\infty} \frac{H_m}{m^2} = 2 \zeta(3)$.

Ну что, молодец Вольфрам. Также это равенство (в несколько ином виде) можно найти в "Интегралах и рядах" Прудникова и др.