Схема Кранк-Николсон для уравнения переноса

[serge_bykov]

Дано уравнение переноса (нужно найти решение на сетке)
$$\dfrac{\partial u}{\partial t} + C(x,t)\frac{\partial u}{\partial x} = 0, где 0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq t \leq 1$$ и схема Кранка-Николсон

$$\dfrac{u^{j+1}_k - u^j_k}{\tau} + C\left(\frac{u^{j+1}_{k+1} + u^j_{k+1}}{4h} - \frac{u^{j+1}_{k-1} - u^j_{k-1}}{4h \right) = 0}$$

и даны функции, которые задают решения для $t = 0$ и $x = 0$.

Собственно, я не могу понять как находить значения функции на $j+1$ слое. То есть понятно, что там логично использовать прогонку, но нет граничного условия на $x=1$ и получается, что система не разрешается...

В чем я ошибаюсь или ошибка в схеме?

[zoo]

Вообще-то уравнения первого порядка не решают с гран. условиями ни с одним ни с двумя, Решений такие краевые задачи вообще говоря не имеют, если только Ваша $C$ не согласована очень жестко с этими гранусловиями. Решение единственным образом определяется по начальным условиям.

[serge_bykov]

я имел ввиду, что у меня есть начальные условия

$$u(x, 0) = \varphi(x)$$

и

$$u(0, t) = \psi(t)$$

, но как из этой схемы найти решение на $j+1$ уровне?

[zoo]

решайте методом характеристик и считайте уравнение характеристик может полегчает, но повторюсь: задача вообще говоря, некорректна

[serge_bykov]

хм... извините сразу за глупость, но если мы используем, предположим, явную схему

$$\dfrac{u^{j+1}_k - u^j_k}{\tau} + C \dfrac{u^j_k - u^j_{k-1}}{h} = 0 $$

, то задача вполне просто... либо я просто Вас не понимаю, либо...

Добавлено спустя 2 минуты 3 секунды:

Вообще-то нужно написать программу, которая находит решение уравнения переноса на узлах сетки...

[zoo]

serge_bykov писал(а):

хм... извините сразу за глупость, но если мы используем, предположим, явную схему

$$\dfrac{u^{j+1}_k - u^j_k}{\tau} + C \dfrac{u^j_k - u^j_{k-1}}{h} = 0 $$

, то задача вполне просто... либо я просто Вас не понимаю, либо...

а Вы в курсе, что схемы могут расходиться?

[serge_bykov]

к сожалению, да...
но они только могут расходится, в принципе, явная схема (при некотором варьировании шагов) дает вполне приемлемые решения...

[zoo]

serge_bykov писал(а):

к сожалению, да...
но они только могут расходится, в принципе, явная схема (при некотором варьировании шагов) дает вполне приемлемые решения...

совет вообщем такой: во-первых разобраться с уравнением характеристик, фазовый портрет прикинуть на плоскости $(x,t)$ что бы хотя бы понять, что Вы считаете. Когда это поймете то во-вторых программируйте уравнение характеристик, с обыкновенными дифурами как-то проще.

[Yu_K]

А какая физика стоит за вашей постановкой. Если у вас справа "тишь да благодать" при больших значениях пространственной переменной - то там функция U(x,t) будет постоянной, пока туда не придут возмущения. Например задача о поршне, который движется слева направо. Примеры есть у Рождественского Яненко "Системы квазилинейных уравнений", у Самарского, Годунова.

[zoo]

Я так понимаю, что сейчас в этой ветке начнется парад невежд.

Для прочистки мозгов, предлагаю каждому любителю решать уравнения первого порядка с гран условиями, прежде чем писать сюда ахинею, решить предложенную автором ветки задачу с $C=-1$ $\psi=t$ и $\varphi=0$ (т.е. $u_t-u_x=0,\quad u(x,0)=0,\quad u(0,t)=t$), точнее говоря, убедиться, что она не имеет решений при $t,x\ge 0$.

[Yu_K]

Как бы не начался парад резких выражений. Есть корректная постановка задачи для уравнения переноса - см. например стр. 64 Рождественского Яненко "Системы квазилинейных уравнений" изд. 1968 года. Но когда вам необходимо решать задачу численно - то как правило задача решается в ограниченной области - в "хороших" студенческих задачах, как правило нет проблем с граничными условиями. Может человеку просто надо посчитать динамику движения бегущей волны со стациционарными условиями на левой и правой бесконечности - возьмите достаточно широкую область, где нет возмущений на краях и расчитывайте, что будет например со ступенчатыми начальными данными, пока не дойдут возмущения до границ вашей расчетной области. Придумать некорректных постановок можно кучу - это не проблема - вопрос был о физике задачи - может дождемся ответа автора темы.

[zoo]

Yu_K писал(а):

Как бы не начался парад резких выражений. Есть корректная постановка задачи для уравнения переноса - см. например стр. 64 Рождественского Яненко "Системы квазилинейных уравнений" изд. 1968 года.

а я что разве сказал, что корректная постановка невозможна? я указал автору темы, что его постановка вообще говоря (без ограничений на $C$), некорректна. Он не понял даже этого. Тогда я привел контр пример и предостерег любителей бездумного счета.

Yu_K писал(а):

Но когда вам необходимо решать задачу численно - то как правило задача решается в ограниченной области - в "хороших" студенческих задачах, как правило нет проблем с граничными условиями. Может человеку просто надо посчитать динамику движения бегущей волны со стациционарными условиями на левой и правой бесконечности - возьмите достаточно широкую область, где нет возмущений на краях и расчитывайте, что будет например со ступенчатыми начальными данными, пока не дойдут возмущения до границ вашей расчетной области. Придумать некорректных постановок можно кучу - это не проблема - вопрос был о физике задачи - может дождемся ответа автора темы.

я никаких постановок не придумывал, я использовал постановку автора темы, вопрос был не о физике, а о численном решении некорректной, вооще говоря, задачи. При том, что автор темы даже не понимавет этой некорректности.

[TOTAL]

serge_bykov писал(а):

Дано уравнение переноса (нужно найти решение на сетке)
\dfrac{\partial u}{\partial t} + C(x,t)\frac{\partial u}{\partial x} = 0, где 0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq t \leq 1 и схема Кранка-Николсон \dfrac{u^{j+1}_k - u^j_k}{\tau} + C\left(\frac{u^{j+1}_{k+1} + u^j_{k+1}}{4h} - \frac{u^{j+1}_{k-1} - u^j_{k-1}}{4h \right) = 0} и даны функции, которые задают решения для t = 0 и x = 0.

Собственно, я не могу понять как находить значения функции на j+1 слое. То есть понятно, что там логично использовать прогонку, но нет граничного условия на x=1 и получается, что система не разрешается...

В чем я ошибаюсь или ошибка в схеме?

Судя по постановке, величина $C(x,t)$ положительна, поэтому недоопределённую систему разностных уравнений дополните ещё одним, для чего запишите разностную схему в последней точке, аппроксимируя пространственную производную не центральной разностью, а разностью назад, т.е. не так
\dfrac{u^{j+1}_n - u^j_n}{\tau} + \frac{C}{2}\left(\frac{u^{j+1}_{n+1} - u^{j+1}_{n-1}}{2h} + \frac{u^{j}_{n+1} - u^{j}_{n-1}}{2h} \right) = 0}
а вот так
\dfrac{u^{j+1}_n - u^j_n}{\tau} + \frac{C}{2}\left(\frac{3u^{j+1}_{n} - 4u^{j+1}_{n-1}+u^{j+1}_{n-2}}{2h} + \frac{3u^{j}_{n} - 4u^{j}_{n-1}+u^{j}_{n-2}}{2h} \right) = 0}

[zoo]

TOTAL в сообщении #156278 писал(а):

Судя по постановке, величина $C(x,t)$ положительна, поэтому недоопределённую систему разностных уравнений дополните ещё одним, для чего запишите разностную схему в последней точке, аппроксимируя пространственную производную не центральной разностью, а разностью назад, т.е. не так
\dfrac{u^{j+1}_n - u^j_n}{\tau} + \frac{C}{2}\left(\frac{u^{j+1}_{n+1} - u^{j+1}_{n-1}}{2h} + \frac{u^{j}_{n+1} - u^{j}_{n-1}}{2h} \right) = 0}
а вот так
\dfrac{u^{j+1}_n - u^j_n}{\tau} + \frac{C}{2}\left(\frac{3u^{j+1}_{n} - 4u^{j+1}_{n-1}+u^{j+1}_{n-2}}{2h} + \frac{3u^{j}_{n} - 4u^{j}_{n-1}+u^{j}_{n-2}}{2h} \right) = 0}

а какой краевой задаче эта разностная схема соответствует в терминах исходного уравнения?

[TOTAL]

zoo писал(а):

а какой краевой задаче эта разностная схема соответствует в терминах исходного уравнения?

Исходное уравнение переноса с положительным коэффициентом $C$ решается в области $0 < x < 1, \;\; t>0$.
Краевые условия задаются на границе $t=0$ и на границе $x=0$