Определенность функций типа sin x/x в нуле.

[kefi]

Otta в сообщении #1561372 писал(а):

В общем, непонятно, чем у Вас порожден вопрос. Практическая надобность-то в чем?

Сам пытаюсь понять . Возможно в желании использовать пределы, как способ вычисления значений функции в выколотых точках , а то как-то "нехорошо" получается - вроде как , если есть некая мат модель, описывающая реальное явление везде, кроме одной точки ( да и то только по непонятным математическим соглашениям ), но она легко доопределяется в этой точке своим пределом, то почему бы не считать это явление полностью описываемым этой функцией и в этой точке тоже , задавая ее значение в этой точке, как ее предел ....
И таким образом избавиться от выколотых точек ...

[Otta]

kefi
Тут такое. Может, эта выколотая точка по существу и в ней жизни нет или она устроена иначе. (Та самая 9).
А может, Ваш процесс или что там этой функцией Вы задаете, по каким-то естественным, физическим например, причинам непрерывен, и это из каких-то (опять же естественных/физических) соображений ясно.

Тогда от них так и избавляются, произнося волшебные слова "доопределим функцию в (нужной) точке по непрерывности", то есть именно пределом.

Конечно, это возможно не всегда. Предел должен быть. То есть точка - устранимого разрыва, как уже говорили выше.

[wrest]

kefi
Предчувствую, что скоро будет ваш вопрос чему и почему должно быть равно $x^x$ в нуле для разумных людей
С огнём играете!

[worm2]

kefi, если вы думаете, что в математике принято считать, что $\frac{\sin x}x$ в нуле не определена, а $\frac xx$ в нуле определена, то вы ошибаетесь.
Принято считать, что обе функции не определены в нуле (до тех пор, пока мы явно их там не доопределим).

[EUgeneUS]

kefi в сообщении #1561378 писал(а):

вроде как , если есть некая мат модель, описывающая реальное явление везде, кроме одной точки ( да и то только по непонятным математическим соглашениям ), но она легко доопределяется в этой точке своим пределом, то почему бы не считать это явление полностью описываемым этой функцией и в этой точке тоже , задавая ее значение в этой точке, как ее предел ....
И таким образом избавиться от выколотых точек ...

Собственно говоря, так и происходит.
Вот только, функция с выколотой точкой, и функция, у которой значение в выколотой точке до-определяется пределом - это разные функции.

Даже названия специальные иногда придумывают

$(\sin x) / x$ - это одна функция.
А если до-определим её в нуле, то это будет контейнерная перевозка уже $\operatorname{sinc} (x)$. Другая функция.

[Doctor Boom]

EUgeneUS
Тогда возникает интересный вопрос, а в каких задачах важна разница между

EUgeneUS в сообщении #1561390 писал(а):

функция с выколотой точкой

и

EUgeneUS в сообщении #1561390 писал(а):

функция, у которой значение в выколотой точке до-определяется пределом

Что-то навскидку и не вспомню. Если взять фурье-анализ, то там даже можно вывести, что значение функции в выколотой точке равно среднему арифметическому правого и левого пределов

[Otta]

Doctor Boom в сообщении #1561405 писал(а):

Если взять фурье-анализ, то там даже можно вывести, что значение функции в выколотой точке равно среднему арифметическому правого и левого пределов

Положим, при некоторых условиях.
А давайте мы эту функцию (исходную), будем раскладывать в ряд по синусам. Ну к примеру.

[Doctor Boom]

Otta в сообщении #1561408 писал(а):

А давайте мы эту функцию (исходную), будем раскладывать в ряд по синусам. Ну к примеру.

По синусам можно разложить только нечетную функцию А ну т.к. любую функцию можно единственным образом представить как сумму четной и нечетной, то мы раскладываем нечетную часть функции. И в этом случае уже не сработает, разве?

[EUgeneUS]

Doctor Boom в сообщении #1561405 писал(а):

Тогда возникает интересный вопрос, а в каких задачах важна разница между....

в ЕГЭ, например. В вопросах и задачах на определение области определения.

Вы (и ТС) можете сколько угодно пытаться апеллировать к тому, что прикладного значения такое различие функций не имеет.
Но речь-то совсем о другом. А именно, функции с разной областью определения - это разные функции.

[Doctor Boom]

EUgeneUS в сообщении #1561411 писал(а):

Вы (и ТС) можете сколько угодно пытаться апеллировать к тому, что прикладного значения такое различие функций не имеет.
Но речь-то совсем о другом. А именно, функции с разной областью определения - это разные функции.

Так я немного о другом говорю Разумеется, я не спорил с тем, что

EUgeneUS в сообщении #1561390 писал(а):

функция с выколотой точкой, и функция, у которой значение в выколотой точке до-определяется пределом - это разные функции.

я спрашивал

Doctor Boom в сообщении #1561405 писал(а):

Тогда возникает интересный вопрос, а в каких задачах важна разница между [...]

И если только

EUgeneUS в сообщении #1561411 писал(а):

в ЕГЭ, например.

тогда какая-то искусственная разница получается :)

EUgeneUS в сообщении #1561411 писал(а):

В вопросах и задачах на определение области определения.

И это все?

[Otta]

Doctor Boom в сообщении #1561409 писал(а):

По синусам можно разложить только нечетную функцию

Любую можно разложить. Задача: разложить на отрезке $(0,\pi)$ указанную функцию а) по синусам. б) по косинусам, в) по косинусам и синусам.

Другая задача: ту же функцию по косинусам и синусам на отрезке $(\pi/2, 3\pi/2)$. Построить графики сумм (на всей прямой, они периодические). 4 штуки.

В общем, это все славно, но к теме не имеет отношения.

[Doctor Boom]

(Оффтоп)

Otta
А вот оно что

[EUgeneUS]

Doctor Boom
вопрос: решить уравнение $(x^2-1)^2/(x-1) =0$
если в Вашем ответе, кроме $x=-1$ будет $x=1$, то "садись, два".
ибо это вопрос не на пределы и не на устранимые точки разрыва, а на определение области определения.

-- 29.07.2022, 19:41 --

Doctor Boom в сообщении #1561412 писал(а):

тогда какая-то искусственная разница получается :)

разница не искусственная.
искусственное отождествление разных функций, что Вы пытаетесь предложить.

[Doctor Boom]

EUgeneUS
Забавно, что если функцию доопределить по непрерывности в $x=1$, то у вашего уравнения будут два корня, а вот уже у $(x^2-1)/(x-1) =0$ будет один
Еще раз, мой вопрос был, где устранение точек разрыва по непрерывности может нетривиально повлиять на какие-либо результаты, кроме банального "у нас изменилась область определения"

[EUgeneUS]

Doctor Boom в сообщении #1561418 писал(а):

Забавно, что если функцию доопределить по непрерывности в $x=1$, то у вашего уравнения будут два корня, а вот уже у $(x^2-1)/(x-1) =0$ будет один

Ничего забавного. Так этот пример и был построен

Doctor Boom в сообщении #1561418 писал(а):

Еще раз, мой вопрос был, где устранение точек разрыва по непрерывности может нетривиально повлиять на какие-либо результаты, кроме банального "у нас изменилась область определения"

какое отношение этот вопрос имеет:
а) к тому, что функции $(\sin x)/x$ и $\operatorname{sinc} (x)$ - различны?
б) к какому-либо другому вопросу ТС
?