Проводники в электростатическом поле

[osa]

Подскажите, пожалуйста, как подступиться к задаче: бесконечный проводящий цилиндр помещают в однородное электрическое поле, перпендикулярное оси цилиндра. Требуется рассчитать распределение индуцированного на поверхности цилиндра заряда. Была попытка взять точку на оси цилиндра и подобрать распределение, обеспечивающее равенство нулю поля внутри (получилось пропорционально синусу полярного угла), но есть большие сомнения в правильности этого подхода.

[Fgolm]

Нужно составить граничное интегральное уравнение относительно плотности индуцированного заряда, и решить его (в данной задаче оно будет иметь аналитическое решение).
Сделать это можно так.
Запишем напряженность поля, создаваемого в произвольной точке пространства (согласно принципа супперпозиции):
$\vec E\left( M \right) = \vec E_\sigma \left( M \right) + \vec E_0 \left( M \right)$ (1)
где $\vec E_\sigma \left( M \right)$ - напряженность поля, создаваемого индуцированными источниками;
$\vec E_0 \left( M \right)$ - первичное поле (то есть поле свободных источников оно задано по условию);
точка $P$ пренадлежит поверхности цилиндра.
Распишем (1):
$\vec E\left( M \right) = \frac{1}{{2\pi }}\oint\limits_l {\sigma \left( P \right)\frac{{\vec r_{PM} }}{{r_{PM}^2 }}dl_P } + \vec E_0 \left( M \right)$. (2)
Выберем на поверхности цилиндра точку $Q$ и запишем граничные условия в ней для вектора напряженности:
$E_n^ + \left( Q \right) = E_n^ - \left( Q \right)$. (3)
Где индексы "+" и "-" означают наружнюю и внутреннюю область относительно границы.
Известно, что $E_n^ - \left( Q \right) = 0$.
Теперь остается воспользоваться формулой (2), умножив скалярно ее на нормаль в точке $Q$, и, устремив в ней точку $M$ к точке $Q$, и подставить ее в формулу (3).
Попробуйте это проделать.
Задавайте вопросы.

[peregoudov]

Проще все-таки решить уравнение Лапласа $\Delta\phi=0$ вне цилиндра с граничным условием $\phi=0$ на боковой поверхности цилиндра и $\phi=x+O(1/r)$ на бесконечности (ось x направлена вдоль внешнего поля). Плотность заряда затем вычисляется из нормальной производной потенциала на боковой поверхности цилиндра. osa, Вы знаете, как выглядит общее решение уравнения Лапласа в полярных координатах в двумерном случае?

[Fgolm]

По большому счету, метод граничных интегральных уравнений - это один из путей решения краевой задачи.
Полученное ИУ для целиндра решается в однодействие.
Хотелось бы, чтобы osa получил это ИУ, и увидит, что его ядро - константа.

[osa]

Спасибо за помощь. Fgolm, мне не очень понятно равенство 3, ведь нормальная составляющая поля у поверхности проводника (снаружи) не будет равна нулю, а определяется плотностью заряда вблизи данной точки. И еще уточнение, правильно ли я понимаю, что задачу можно рассматривать как плоскую (т.е. искать линейную плотность индуцированного заряда)?

[Александр Т.]

osa писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как подступиться к задаче: бесконечный проводящий цилиндр помещают в однородное электрическое поле, перпендикулярное оси цилиндра. Требуется рассчитать распределение индуцированного на поверхности цилиндра заряда.

Это - задача 2 к параграфу 3 книги "Ландау, Лифшиц. Электродинамика сплошных сред" (стр. 31 издания 1982г.).

osa писал(а):

Была попытка взять точку на оси цилиндра и подобрать распределение, обеспечивающее равенство нулю поля внутри (получилось пропорционально синусу полярного угла), но есть большие сомнения в правильности этого подхода.

Подход - вполне себе правильный при грамотном исполнении. В любом случае, если для задачи о проводнике в заданном приложенном поле удалось найти такое распределение зарядов на поверхности проводника, что полное поле всюду внутри него равно нулю, то задача решена.

В вышеупомянутой задаче поверхностный заряд оказался пропорциональным не синусу, а косинусу полярного угла, но я думаю, что это различие связано с тем, что Вы просто по-другому выбрали оси $x$ и $y$ (ось $x$ направили перпендикулярно вектору напряженности приложенного поля, а не вдоль него).

[Fgolm]

osa в сообщении #156328 писал(а):

Спасибо за помощь. Fgolm, мне не очень понятно равенство 3

Равенство $(3)$ - это граничное условия для нормальной компоненты вектора напряженности электрического поля, которое обязано соблюдаться.

osa в сообщении #156328 писал(а):

ведь нормальная составляющая поля у поверхности проводника (снаружи) не будет равна нулю, а определяется плотностью заряда вблизи данной точки.

Это Вы учтете при предельном переходе, когда будете расписывать $E_n^ + \left( Q \right)$: в формуле (2) все слагаемые спроецируете на нормаль, интеграл по замкнутому контуру разорвете в точке $Q$, а напряженность в этой точке выразите через плотность задаряда (как Вы и написали). Затем, после предельного перехода, область интегрирования снова замкнется. Полученное выражение приравняете нулю (согласно $(3)$).

osa в сообщении #156328 писал(а):

И еще уточнение, правильно ли я понимаю, что задачу можно рассматривать как плоскую (т.е. искать линейную плотность индуцированного заряда)?

Задача плоскопараллельная, однако плотность индуцированного тзаряда - это поверхностная плотность (высоту цилиндра в направлении, перепендикулярном плоскости, считаем равной единице).

[MOPO3OB]

Цитата:

Была попытка взять точку на оси цилиндра и подобрать распределение, обеспечивающее равенство нулю поля внутри (получилось пропорционально синусу полярного угла), но есть большие сомнения в правильности этого подхода.

задача стандартная.

если ось цилиндра нормальна к к вектору поля (задача двумерная, полярные координаты ρ, θ)
Внешнее поле разлагается в ряд Фурье (двойная сумма) по Бесселям мнимого аргумента (радиальная составляющая ρ) умноженному на cos(nθ). Решение представляется в виде такого же ряда.
Решение получается при подстановки суммы этих рядов в граничные условия. При этом коэффициенты ряда, представляющего решение, получаются из простого алгебраического уравнения..

в том или ином виде этот алгоритм позволяет получить решение для любых граничных задач, если поверхность совпадает с координатной поверхностью ортогональных координат. Поле не обязательно должно быть однородным. Ведь можно получить разложение и для любого поля, например поля точечного заряда.

оно конечно возня и всякие страшные слова, типа "бесселевы функции, но решать интегральное уравнение не подарок... хотя там можно получать и численные решения задач не имеющих аналитического решения.

_______________
для проводников граничное условие - равенство нулю касательной напряженности поля.