Определенность функций типа sin x/x в нуле.

[kefi]

Помогите разобраться , почему функция $sin (x) / x$ считается неопределенной в нуле, в то время как функция типа $x/x$ и сколько угодно других дробно рациональных функций, имеющих нуль в знаменателе после сокращения на знаменатель таковыми не считаются ?

[svv]

$f_1(x)=\frac x x$ и $f_2(x)=\frac 1 1$ — разные функции. У них разные области определения. Первая в точке $x=0$ не определена, как и $\frac{\sin x}x$. Вторая определена и имеет значение $1$.

Другое дело, что можно доопределить $f(x)=\frac{\sin x}x$ в нуле так:
$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}x,&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}$
Или как-то иначе.

[wrest]

kefi в сообщении #1561335 писал(а):

Помогите разобраться , почему функция $sin (x) / x$ считается неопределенной в нуле,

Тут всё очень просто: дело в том, что на ноль делить нельзя, это запрещено математическим богом. Если вам кто-то когда-то скажет, что можно - не верьте.

-- 29.07.2022, 02:32 --

kefi в сообщении #1561335 писал(а):

после сокращения на знаменатель таковыми не считаются ?

После сокращения они могут перестать быть изначальными функциями. Ноль на себя не делится.
За это можно потерять баллы на ЕГЭ!

[EminentVictorians]

(Оффтоп)

wrest в сообщении #1561343 писал(а):

Ноль на себя не делится.

Делится

[kefi]

Про запрет деления на ноль мне известно.
Вопрос в другом , ближе к основаниям математики - ПОЧЕМУ функцию $sin(x)/x$ нельзя считать определенной в точке 0 и имеющей значение 1 , равно, как и функцию $x/x$ ?!


Ps. Ну нельзя делить на ноль, так и не будем, просто будем считать , что она существует в нуле и имеет значение 1, как написал выше svv ... Но! Почему-то общепринято так не считать, а считать, что в точке ноль значения у этой функции нет ....

[Otta]

kefi в сообщении #1561358 писал(а):

росто будем считать , что она существует в нуле и имеет значение 1, как написал выше svv ...

Он такого не писал.

kefi в сообщении #1561358 писал(а):

Ну нельзя делить на ноль, так и не будем, просто будем считать , что она существует в нуле и имеет значение 1,

А почему не 9? а почему не 11?

kefi в сообщении #1561358 писал(а):

Почему-то общепринято так не считать, а считать, что в точке ноль значения у этой функции нет ....

А она в нуле определена? Что та, что эта, между ними нет разницы.

Основания математики тут ни при чем.

[kefi]

Otta
Именно это он и написал...
А не 9 и не 11 потому, что предел ее равен 1 .
Вопрос в том и состоит - что мешает определять их в нуле ?

[B@R5uk]

kefi в сообщении #1561358 писал(а):

ПОЧЕМУ функцию $\sin(x)/x$ нельзя считать определенной в точке 0

Почему? По определению. Математика строгая наука, строящаяся на определениях, аксиомах и логически выводимых из них утверждениях (теоремах). Кстати, с вашим вопросом связан такой термин как "устранимый разрыв функции". Почитайте его определение.

[Otta]

kefi
Что он написал и что Вы прочитали - это не одно и то же.
Где написано, что она (кто?) определена в нуле и имеет значение единица? Укажите. Процитируйте.

kefi в сообщении #1561365 писал(а):

А не 9 и не 11 потому, что предел ее равен 1 .

Предел и значение - разные вещи. Предел не обязан совпадать со значением функции в этой точке. Даже если она там определена, то есть если ее значение задано или может быть вычислено. Ваши - ни то, ни другое.
Я вот возьму и напишу
$f(x)=\begin{cases}\frac{\sin x}x,&x\neq 0\\9,&x=0\end{cases}$
и будет Вам 9.
Но это тоже не исходная функция $\sin x/x$ - хотя бы потому, что у нее другая область определения.

[kefi]

B@R5uk еще раз - вопрос как раз об основаниях , о том , что заставляет устанавливать такие определения ?

[B@R5uk]

kefi в сообщении #1561368 писал(а):

что заставляет устанавливать такие определения ?

Оооо! Вот это вы глубоко капнули! Почему математический аппарат исторически сложился такой, а не какой-нибудь другой? Попробуй найди так просто ответ, особенно, когда нет альтернативы для сравнения!

Простой и наивный ответ будет такой: потому что в таком виде он внутренне непротиворечив. Кровью и потом математики в течении столетий вылавливали проблемы, которые следовали из неудачно выбранных определений и вводили новые, более совершенные. И последствия неудачных определений бывают далеко не самые очевидные. Пусть практическая полезность оказывается не всегда актуальной, за то сам матаппарат самосогласован, и его можно без страха развивать дальше.

[kefi]

Otta
B@R5uk
На ноль делить нельзя. Почему - известно, нарушается общая система арифметики.
Но и корень из минус единицы нельзя извлечь , так его и не извлекают , но тем не менее мнимые числа используют , и при решении дифуров, например , они оказываются полезными, выполнив свою работу, они исчезают, давая вполне себе реальное значение , да и отрицательные числа тоже весьма условно отражают реальность , но тем не менее используются .
Так что же мешает изначально считать определенными своим пределом приведенные в стартовом посте, и им подобные, функции в точке ноль ?

[Otta]

kefi в сообщении #1561370 писал(а):

На ноль делить нельзя. Почему - известно, нарушается общая система арифметики.

Кстати, да. Почему на ноль не делят. И является ли ноль делителем нуля. Если нет - почему. Если да - каково частное.

kefi в сообщении #1561370 писал(а):

Так что же мешает изначально считать определенными своим пределом приведенные в стартовом посте функции в точке ноль ?

Ничего не мешает. Но это будут другие функции. Функция - это не только закон соответствия. Это триада (область определения, закон соответствия, область прибытия). То есть два множества и закон, который элементам первого множества ставит элементы второго.
Тут нет принципиального запрета что-то делать (типа как извлекать корень из минус единицы над полем вещественных чисел, по банальным причинам).
На другом уровне все: да делайте. Просто функции будут разные. Ничего страшного, потому что на исходной области определения они будут совпадать. Но иногда это бывает нужно учесть. И тогда полезно об этом помнить.

В общем, непонятно, чем у Вас порожден вопрос. Практическая надобность-то в чем?

[mihaild]

Попробую так написать, вроде бы этого почему-то еще никто не сделал.
$\frac{\sin(x)}{x}$ - это не функция, это строчка, задающая некоторую функцию. Функция - это множество пар с известными свойствами. Или, по-школьному, правило, которое сопоставляет элементам из области определения элементы из области значений.
Одна и та же функция может быть записана многими разными способами. Например, $x+x$, $2\cdot x$ и $\ln e^x + x^{\sin^2(x) + \cos^2(x)}$ - три разных способа записать одну и ту же функцию.
У функции, как известно, должна быть область определения. И мы должны её при определении указывать. Так что функции $[0, 1] \to \mathbb R$ и $[0, 2] \to \mathbb R$, которые из $x$ делают $2x$ - разные.
В явном виде область определения указывать неудобно, поэтому существуют соглашения, как по строчке, задающей функцию, построить множество, являющееся
областью определения "по умолчанию". И в эти соглашения, в частности, входит "если в строчке есть дробь, то из области определения выкидываются нули знаменателя".

[kernel1983]

kefi в сообщении #1561370 писал(а):

Otta
B@R5uk

Но и корень из минус единицы нельзя извлечь , так его и не извлекают , но тем не менее мнимые числа используют , и при решении дифуров, например , они оказываются полезными, выполнив свою работу, они исчезают, давая вполне себе реальное значение , да и отрицательные числа тоже весьма условно отражают реальность , но тем не менее используются .

Отрицательные числа вполне "реальны": это точки прямой, которые находятся левее нуля. Мнимые (точнее, комплексные) числа являются точками поскости, для которых определены операции, да так, что все вещественные числа оказываются комплексными.