Уравнение в целых числах

[Ivan 09]

Доброго времени суток.
Есть уравнение. Решить в целых числах
$x^3-y^3=xy+61$
Этот пример взят с ютуб канала, автор рассказывает и поясняет на английском языке. Возникли некоторые вопросы.
ход решения.
$(x-y)(x^2+xy+y^2)=xy+61$
$(x-y)(x^2-2xy+y^2+3xy)=xy+61$
$x-y=a;xy=b$
$a(a^2+3b)=b+61$
$b=\frac{61-a^3}{3a-1}$

Легко находится $a=1$ и $b=30 $

Отсюда $x=6;y=5$

А есть ли другие решения?

[Dmitriy40]

Есть.

[lel0lel]

$\frac{27 \left(61-a^3\right)}{3 a-1}=-9 a^2-3 a-1+\frac{1646}{3 a-1}$
Недавно обсуждалась тема с симметричными полиномами, так вот и здесь про них вспомнить уместно, когда уравнение преобразовывалось.

[nnosipov]

Задача 6 для 8-го класса с 15-й Всесоюзной олимпиады (1981, Алма-Ата).

[Mitkin]

Ivan 09 в сообщении #1560340 писал(а):

Доброго времени суток.
Есть уравнение. Решить в целых числах
$x^3-y^3=xy+61$
$x=6;y=5$

А есть ли другие решения?

Меняем знаки у x и y. Получаем аналогичное уравнение:
$x=-x_1$,
$y=-y_1$
$y_1^3-x_1^3=x_1y_1+61$
$y_1=6;x_1=5$
или
$y=-6;x=-5$

[Mitkin]

Поскольку существует указанная замена, положим $x>0$.
Тогда может быть $x>0, y<0$. Однако, значений $y<0$ немного. Чтобы их ещё уменьшить, можно рассмотреть уравнение по модулю 3, либо перебором:
рассмотрим уравнение для положительных $x, y$
$x^3+y^3=-xy+61$
Неизвестные взаимозаменяемы, поэтому значения проверяем от 0 до 3 для $x$ (соответственно и для $y$) - легко проверяется перебором. Попутно отмечаем, что оба неизвестных чётными быть не могут.

-- 27.07.2022, 11:56 --

Далее рассматриваем, уже исходное уравнение для положительных $x$ и $y$:
$x^3-y^3=xy+61$
Можно положить $x=y+a$, где $a>0$ тогда
$3ax^2+3a^2x+a^3=x^2+ax+61$
или
$(3a-1)x^2+(3a^2-1)x+a^3=61$
у нас $x>0, a>0$ и оба целые.
Проверяем $a=0, 1, 2, 3$.
На этом решение заканчивается.

[Mitkin]

я перепутал в последних уравнениях х и у. Должно выражаться через у. А так всё правильно будет.

[nnosipov]

Mitkin
Чтобы не рассматривать различные случаи, можно после подстановки $x=y+a$ в исходное уравнение просто решать получившееся квадратное уравнение обычным способом, т.е. через дискриминант, который окажется равным $D=-3a^4-2a^3+a^2+732a-244$. Необходимое условие разрешимости --- неравенство $D \geqslant 0$ --- будет выполнено только при $a \in \{1,3,5\}$ (с учетом нечетности $a$, которая следует из рассмотрения по модулю $4$).

[Mitkin]

nnosipov в сообщении #1561243 писал(а):

Mitkin
... (с учетом нечетности $a$, которая следует из рассмотрения по модулю $4$).

модуль 4 чем обоснован?

[nnosipov]

Mitkin в сообщении #1561251 писал(а):

модуль 4 чем обоснован?

Модуль $2$ не работает, попробуем модуль $2^2=4$. А здесь сработало.

Вот более интересный пример на тему "рассмотрим по модулю": $x^3+y^4=7$. Вот здесь волшебный модуль действительно нуждается в обосновании.

[Mitkin]

nnosipov в сообщении #1561254 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561251 писал(а):

модуль 4 чем обоснован?

Модуль $2$ не работает, попробуем модуль $2^2=4$. А здесь сработало.

Что сработало? При $a=2$ подкоренное четвёрку выносим из под корня, под корнем остаётся чётное выражение. И что?
Также, при $a=0$ у нас под корнем 244, т.е. 4*61. И что? Какую роль здесь играет модуль?
При $a=4$ выносим 4 из под корня, под корнем остаётся нечётное число. И что?

[nnosipov]

Mitkin в сообщении #1561261 писал(а):

Что сработало?

Сравнение $(3a-1)y^2+(3a^2-a)y+a^3-61 \equiv 0 \pmod{4}$. Из него следует, что $a$ нечетно. Вообще, это чисто технический момент, без него можно и обойтись.

[Mitkin]

nnosipov в сообщении #1561265 писал(а):

Mitkin в сообщении #1561261 писал(а):

Что сработало?

Сравнение $(3a-1)y^2+(3a^2-a)y+a^3-61 \equiv 0 \pmod{4}$. Из него следует, что $a$ нечетно. .

Из него следует, что $a\ne4k+2$ и
$a\ne4k$
согласен

[nnosipov]

На самом деле из него следует $a \equiv 1 \pmod{4}$. А если уравнение рассмотреть и по модулю $3$, то получим $a \equiv 1 \pmod{3}$. В итоге останется лишь одно значение $a=1$.