Направление углового ускорения

[Middle]

Здравствуйте, на скрине представлен разбор задачи на одном семинаре по аналитической механике. Вот условия:




Как вы можете видеть на первом скрине, слева, записана формула Ривальса для точки C, и семинарист ставит своей целью нахождение углового ускорения для звенья BC.
Далее он утверждает, что слагаемое $[\varepsilon_{BC} \times BC]$ перпендикулярно BC и просто обозначает его через $W_{1}$.
В связи с этим, мне не очень понятно, почему $W_{1}$ лежит в плоскости XY, а не направлен по оси Z, потому как для угловой скорости:

$\vec{w}=w \cdot \vec{e}$

$\vec{w'}=w' \cdot \vec{e}+w \cdot \vec{e'}$, а значит

Для вектора $\vec{w_{BC}}$ можно найти, что $w_{BC}=\operatorname{const}$ и тогда

$\vec{w'_{BC}}=w_{BC} \cdot \vec{e'}=\vec{\varepsilon_{BC}}$, который перпендикулярен $\vec{w_{BC}}$, т.е. лежит в плоскости XY (потому-что вектор $\vec{w_{BC}}$ лежит на оси Z).

Тогда очевидно $W_{1}$ будет перпендикулярен плоскости XY и у звенья BC неожиданно появится ускорение по оси Z

[rascas]

Middle в сообщении #1561117 писал(а):

почему $W_{1}$ лежит в плоскости XY, а не направлен по оси Z,

Потому, что $\vec W_{1}$ не угловое ускорение, а просто ускорение (не угловое).

[svv]

Угловая скорость $\vec\omega_{BC}$ в каждый момент времени параллельна оси $Oz$.
Значит, угловое ускорение $\vec\varepsilon_{BC}=\dfrac{d\vec\omega_{BC}}{dt}$ тоже параллельно оси $Oz$.
Векторное произведение перпендикулярно каждому из сомножителей. В данном случае $\vec\varepsilon_{BC}\times \vec{BC}$ перпендикулярно $\vec\varepsilon_{BC}$, то есть перпендикулярно оси $Oz$, то есть лежит в плоскости $Oxy$.

Пожалуйста, не пишите букву $\omega$ «омега» как $w$ «дубль-вэ». Это ведёт к путанице.
$\omega$ кодируется \omega

[Middle]

svv в сообщении #1561149 писал(а):

Угловая скорость $\vec\omega_{BC}$ в каждый момент времени параллельна оси $Oz$.
Значит, угловое ускорение $\vec\varepsilon_{BC}=\dfrac{d\vec\omega_{BC}}{dt}$ тоже параллельно оси $Oz$.
Векторное произведение перпендикулярно каждому из сомножителей. В данном случае $\vec\varepsilon_{BC}\times \vec{BC}$ перпендикулярно $\vec\varepsilon_{BC}$, то есть перпендикулярно оси $Oz$, то есть лежит в плоскости $Oxy$.

А в момент представленный на рисунке, ускорение тоже параллельно оси X?



Просто, как я уже писал, $\varepsilon_{BC}=\omega \ver{e'}$ и он перпендикулярен вектору $e$, который, в свою очередь, параллелен оси Z.
За счет чего тогда $\varepsilon_{BC}$ коллинеарен оси Z?

[svv]

Middle в сообщении #1561162 писал(а):

А в момент представленный на рисунке, ускорение тоже параллельно оси X?

Я Вас не очень понял по нескольким причинам:

1) Желательно уточнить, говорите ли Вы об угловом ускорении $\vec\varepsilon$, или о линейном (обычно обозначается $\vec a$, но у Фомичёва $\vec w$ или $\vec W$, из видео непонятно). Предположу, что об $\vec\varepsilon$.

2) Я не говорил, что при движении в плоскости $Oxy$ вектор $\vec\varepsilon$ параллелен оси $Ox$. Я говорил, что он параллелен оси $Oz$ (сюда включается и случай нулевого $\vec\varepsilon$). Поэтому мне непонятен смысл слова «тоже» в цитате.

3) Фомичёв рассматривал случай твёрдого тела или нескольких твёрдых тел (каждое из звеньев — твёрдый стержень). При движении твёрдого тела угловая скорость $\vec\omega$ и её производная = угловое ускорение $\vec\varepsilon$ определяются однозначно. Вы же в последнем примере рассматриваете движение точки. В этом случае можно ввести понятие угловой скорости относительно центра, но это уже немного другая штука, и она зависит от выбора центра. Например, если в ситуации на картинке неподвижный центр находится в точке $A$, то в данный момент $\vec\omega=\vec 0$, а если в $B$, то нет.

Аналогично и угловое ускорение зависит от выбора центра. Представьте, что в парке детский паровозик равномерно движется по окружности. Человек, наблюдающий за его движением из центра окружности, должен поворачивать голову равномерно, т.е. угловое ускорение равно нулю. Человек, наблюдающий за паровозиком издалека, поворачивает голову то вправо, то влево.
В общем, Вы видите, что это другая ситуация, и сейчас давайте рассматривать движение твёрдого тела, а не одной точки.

Middle в сообщении #1561162 писал(а):

Просто, как я уже писал, $\varepsilon_{BC}=\omega \vec{e'}$

$\vec{\omega}_{BC}=\omega_{BC}\; \vec{e}$ — правильно.
$\vec{\omega}'_{BC}=\omega'_{BC} \; \vec{e}+\omega_{BC} \; \vec{e}\,'$ — правильно.
$\omega'_{BC}=0$ — неправильно. Вместо этого $\vec{e}\,'=0$, потому что угловая скорость сохраняет направление (перпендикулярное к плоскости движения). То есть Вы отбросили первое слагаемое, а надо было второе.

Я догадываюсь, почему Вы подумали, что $\omega'_{BC}=0$. Потому что в начальный момент $\omega_{BC}=-\frac 1 3\omega_{AB}$, а последняя постоянна. Но ведь это только в начальный момент! А далее равенство нарушается, и $\omega_{BC}$ совсем не константа, она даже знак меняет.

[Middle]

svv в сообщении #1561173 писал(а):

Middle в сообщении #1561162 писал(а):

А в момент представленный на рисунке, ускорение тоже параллельно оси X?

Я Вас не очень понял по нескольким причинам

По поводу картинки: меня просто смутил ваш ответ

svv в сообщении #1561149 писал(а):

Угловая скорость $\vec\omega_{BC}$ в каждый момент времени параллельна оси $Oz$.
Значит, угловое ускорение $\vec\varepsilon_{BC}=\dfrac{d\vec\omega_{BC}}{dt}$ тоже параллельно оси $Oz$

как будто вы не акцентируете внимание на нормальной составляющей ускорения (о чем собственно я и спрашивал)

svv в сообщении #1561173 писал(а):

Middle в сообщении #1561162 писал(а):

Просто, как я уже писал, $\varepsilon_{BC}=\omega \vec{e'}$

$\vec{\omega}_{BC}=\omega_{BC}\; \vec{e}$ — правильно.
$\vec{\omega}'_{BC}=\omega'_{BC} \; \vec{e}+\omega_{BC} \; \vec{e}\,'$ — правильно.
$\omega'_{BC}=0$ — неправильно. Вместо этого $\vec{e}\,'=0$, потому что угловая скорость сохраняет направление (перпендикулярное к плоскости движения). То есть Вы отбросили первое слагаемое, а надо было второе.

Я догадываюсь, почему Вы подумали, что $\omega'_{BC}=0$. Потому что в начальный момент $\omega_{BC}=-\frac 1 3\omega_{AB}$, а последняя постоянна. Но ведь это только в начальный момент! А далее равенство нарушается, и $\omega_{BC}$ совсем не константа, она даже знак меняет.

То есть $\omega_{BC}=f(t)$-некоторая функция от времени и наши рассуждения сводятся к тому, чтобы найти $f(0)$ и $f'(0)$. Отлично, тогда это намного понятнее.
Спасибо что потратили на меня время

[svv]

Middle в сообщении #1561178 писал(а):

как будто вы не акцентируете внимание на нормальной составляющей ускорения (о чем собственно я и спрашивал)

Кажется, всё ясно.
Угловое ускорение $\vec\varepsilon=\frac{d\vec\omega}{dt}$ и линейное ускорение $\vec a=\frac{d\vec v}{dt}$ (оно же просто "ускорение", если ясно, о чём речь) — совсем разные вещи. Разница между ними столь же велика, как между угловой скоростью $\vec\omega$ и линейной скоростью $\vec v$ (она же просто "скорость"). То, что Вы ожидаете от углового, свойственно линейному. В задаче спрашивается про угловое ускорение, а картинка Ваша про линейное.

-- Вт июл 26, 2022 22:44:53 --

P.S. Как я уже говорил, обычное ускорение Фомичёв обозначает $\vec w$.