Функциональная производная (градиент функционала)

[kitnone]

Добрый день, есть краевая задача и функционал
$ J(u) = \int_0^T (\int_0^\varepsilon+\int_{1-\varepsilon}^1)|A(x,t,u)|^2 dxdt iA_t=A_{xx}+fA, A(0,t)=A(1,t)=0, A(x,0)=u(x), u(x) \in U=\lbrace u(x) \in L_2(0,1): ||u(x)||_{L_2(0,1)}\leq R \rbrace, $
И нужно найти $J`(u)$. Пытаюсь найти ее как линейную часть приращения.

Кажется, что я его нашел, за исключением нескольких очень непонятных моментов, ну и в целом прошу проверить, в основном сомневаюсь в 16-17 формуле - если бы интеграл был от 0 до 1 то сократилось бы всё, но у меня их два, тогда градиент должен получиться слишком сложным, во что я искренне не верю и я не понимаю как дальше преобразовывать эти слагаемые в 17 формуле.

А может тут вообще всё неправильно ¯\_(ツ)_/¯

Скрины с латеха, постарался подробно расписать, надеюсь без опечаток: