Утверждение и правда неверно. Пример это пространства

и

Достаточно проверить для

, поскольку универсальные накрывающие у них гомеоморфны, а потому старшие гомотопические группы изоморфны.
Но утверждение можно сделать верным. Про гомеоморфизмы вообще думать не стоит, это чересчур сильное отношение эквивалентности. Например, у

все топологические инварианты зануляются, но прямая не гомеоморфна точке. Верно следующее утверждение: если есть два CW-комплекса

и отображение

, которое индуцирует изоморфизм на всех гомотопических группах, то это отображение это гомотопическая эквивалентность. В случае нашего контрпримера просто нет отображения, которое индуцирует изоморфизм на гомотопическах группах.