Что характеризуют гомотопические группы

[abrogolat]

Сразу предупрежу, что хорошо в алгебраической топологии не разбираюсь, впрочем как и в любой другой.

Но возник вопрос, характеризуют ли гомотопические группы связное многообразие хоть в каком-то смысле? Самое желанное - чтобы если у двух связных многообразий совпадают все гомотопические группы, то эти многообразия оказываются гомеоморфными.
Если такое сильное утверждение неверно, может его можно как-то ослабить? Брать какие-то "хорошие" классы многообразий, к примеру, компактные. Или в качестве эквивалентности стоит рассматривать не гомеоморфность а что-либо иное.

Благодарю за уделенное внимание! Хотелось бы просто узнать, какие имеются результаты в данном направлении.

[iou]

Утверждение и правда неверно. Пример это пространства $\mathbb{R} \mathbb{P}^2 \times S^3$ и $\mathbb{R} \mathbb{P}^3 \times S^2.$ Достаточно проверить для $\pi_1$, поскольку универсальные накрывающие у них гомеоморфны, а потому старшие гомотопические группы изоморфны.
Но утверждение можно сделать верным. Про гомеоморфизмы вообще думать не стоит, это чересчур сильное отношение эквивалентности. Например, у $\mathbb{R}$ все топологические инварианты зануляются, но прямая не гомеоморфна точке. Верно следующее утверждение: если есть два CW-комплекса $X, Y$ и отображение $X \to Y$, которое индуцирует изоморфизм на всех гомотопических группах, то это отображение это гомотопическая эквивалентность. В случае нашего контрпримера просто нет отображения, которое индуцирует изоморфизм на гомотопическах группах.