Общая теория интеграла

[EminentVictorians]

Проблема следующая: читая про интеграл Римана у Зорича меня не покидает ощущение, что все это - частный случай одной большой общей теории. Зачем требовать, чтобы значения подынтегральной функции лежали в $\mathbb R^n (\mathbb C^n)$, если можно взять банахово пространство? Зачем определять интеграл для функции, определенной на отрезке, если можно определить интеграл для функций с компактным носителем? Да и сама идея с компактным носителем не очень - хотелось бы в рамках одной теории охватить и всевозможные несобственные интегралы. В общем, хотелось бы узнать, существует ли некая общая теория, которая охватывала бы все возможные интегралы как частные случаи?

[KregSeptim]

EminentVictorians
Ну интеграл по мере все это охватывает.
Единственное, это точно не то_самое, ибо интеграл от дифформ на многообразиях вводится иначе. Поэтому вам бы конкретизировать до какой степени общности вы ищете, а то одна и та же закорючка интеграла может значить миллион разных вещей.

[EminentVictorians]

KregSeptim в сообщении #1560616 писал(а):

а то одна и та же закорючка интеграла может значить миллион разных вещей.

Вот у меня подозрение, что не миллион. А максимум 2-3. Вот эти 2-3 смысла и надо вычленить, чтобы в них входили и меры, и дифформы и плотности и еще что-нибудь, о чем я не в курсе. Конкретизировать рад бы, но не могу. Плохо владею темой.

[KregSeptim]

EminentVictorians

В общем, в моем ограниченном мире пока что существуют два великих интеграла: интеграл по мере и интеграл на многообразиях. Их максимально абстрактные образы схватываются теорией категорий:

1) Интеграл по мере превращается в естественное преобразование (natural transformation) , которое растет из топоса пучков на сигма-алгебре. См. например тут: https://www.andrew.cmu.edu/user/awodey/ ... ackson.pdf

2) Интеграл на многообразии это естественное преобразование в симметричной моноидальной категории с модальностью коалгебры. См. например тут:
https://arxiv.org/pdf/1707.08211.pdf

Можно ли эти две сущности как-то сшить - не знаю. Кажется, что с точки зрения теорката нет - очень разные структуры.

(Оффтоп)

А если не секрет, почему интересуетесь?

[EminentVictorians]

KregSeptim в сообщении #1560620 писал(а):

В общем, в моем ограниченном мире пока что существуют два великих интеграла: интеграл по мере и интеграл на многообразиях. Их максимально абстрактные образы схватываются теорией категорий:

1) Интеграл по мере превращается в естественное преобразование (natural transformation) , которое растет из топоса пучков на сигма-алгебре. См. например тут: https://www.andrew.cmu.edu/user/awodey/ ... ackson.pdf

2) Интеграл на многообразии это естественное преобразование в симметричной моноидальной категории с модальностью коалгебры. См. например тут: https://arxiv.org/pdf/1707.08211.pdf

Обалдеть Вот такое я люблю)) Посмотрел обе статьи по диагонали - это просто пушка! Залетели в мое личное избранное. Я давно чувствовал, что весь матанализ - это глубоко категорная штука. (собственно, я теорию категорий начал учить именно ради того, чтобы посмотреть, как матанализ будет выглядеть в ее терминах; а то, что он в ее терминах формулируется - это однозначно)

KregSeptim в сообщении #1560620 писал(а):

А если не секрет, почему интересуетесь?

Я заколебался одно и то же по 10 раз доказывать. И еще хочется понимать, почему определения именно такие, а не другие.

[KregSeptim]

(Оффтоп)

EminentVictorians в сообщении #1560623 писал(а):

И еще хочется понимать, почему определения именно такие, а не другие.

Согласен, теоркат вправляет мозги. Я как-то влился туда с Aluffi, так и не вылился до сих пор

[EminentVictorians]

KregSeptim, а не знаете хороших учебников по анализу? В современно стиле, общих, с категориями и так далее. Типа Лорана Шварца, но поновее бы.

-- 20.07.2022, 19:09 --

Изложение должно быть от общего к частному, это важно.

[KregSeptim]

EminentVictorians
Сам анализ я учил по Зоричу, как и вы. Могу разве что с функана подсказать -- Хелемский.

[EminentVictorians]

KregSeptim в сообщении #1560635 писал(а):

Сам анализ я учил по Зоричу, как и вы. Могу разве что с функана подсказать -- Хелемский.

У меня есть такое ощущение, что и функан, и вещественный анализ, и комплексный анализ (хоть в одномерном, хоть в многомерном вариантах) имеют один общий фундамент. Я все хотел нормально 2-ой том Зорича выучить, даже вот одномерный анализ последние месяцы повторял как следует. Но по итогу прихожу к мысли забить на все доказательства и читать по диагонали на уровне определения-теоремы. Один фиг после Зорича придется заново весь матан переучивать, дак какая тогда польза от всех этих недодоказательств.

[KregSeptim]

EminentVictorians
А в чем ваша глобальная цель?
Я когда-то копал учебник Aluffi по алгебре, в котором изложение ведется с точки зрения теории категорий. Помню даже шуточное определение оттуда: "Группа -- это группоид с одним объектом". В один момент я дошел до тензорного произведения модулей (конкретнее -- векторных пространств). Стало понятно, что тензорное произведение это бифунктор из категории векторных пространств в себя бла-бла-бла. Но один хрен дальше придется "спуститься вниз" и отождествлять тензоры с полилинейными операторами, чтобы вообще хоть как-то их поближе узнать. И в итоге я теоркат воспринимаю просто как философию, а не финальную цель, поэтому не смотрю на вещи так радикально. Все инстансы категорий заслуживают интереса не только как референты на категорные структуры, но и сами по себе, в своей самобытности так сказать.
То, чего я действительно не понимаю в анализе, -- страх дать анализ сразу на нормированных пространствах после анализа функций одной переменной. Кстати, вас это может заинтересовать, чтобы не мучиться по Зоричу с анализом в эр-эн: https://www.amazon.com/Calculus-Normed- ... 1461438934
Скачивается на либгене.

[EminentVictorians]

KregSeptim в сообщении #1560639 писал(а):

А в чем ваша глобальная цель?

Не знаю, как ответить внятно, но попробую. Вот, например, почему нам так важны банаховы пространства? Понятно, что нормированное векторное пространство нам точно нужно, но зачем полнота? А затем, чтобы работал критерий Коши. Следующий логичный вопрос: зачем нужен критерий Коши? Затем, чтобы иметь внутренний критерий сходимости. А это уже действительно важно, т.к. явно предъявлять предел часто не надо, да и не получится. И это - неоспоримый аргумент.

Другими словами, нас интересуют банаховы пространства не потому, что они банаховы, а потому они - ровно те пространства, к которым мы можем применять наш "мыслительный стереотип", заключающийся в наличии внутреннего критерия сходимости. Грубо говоря, берем 50 доказательств критерия Коши для разных пространств, функций и баз. Формально это все разные доказательства, но идейно - это нечто одно. Можно считать эти доказательства эквивалентными, а "мыслительный стереотип" тогда будет классом эквивалентности этих доказательств Банахово пространство как раз и олицетворяет этот "мыслительный стереотип".

Я считаю, что это применимо более менее к любой хорошей абстракции. Хорошая абстракция должна не просто выделять аксиоматически некоторый класс объектов, она должна олицетворять собой этот самый "мыслительный стереотип". Она должна кодировать небольшой естественный для человека кусочек из всевозможных способов мыслить.

Так вот, моя глобальная цель - понимать анализ на уровне этих "мыслительных стереотипов". Меня не интересуют конкретные структуры, я хочу оперировать "способами мышления". Банахово пространство - это "способ мышления", поэтому он мне нравится. $\mathbb R^n$ - это конкретная конструкция, поэтому в топку ее. Понятие базы - это способ мышления, а все эти "для любого эпсилон найдется номер эн..." - фигня.

[KregSeptim]

EminentVictorians
А банаховы пространства -- частный случай нормированных, а нормированные -- векторных (/ модулей / групп с действием колец эндоморфизмами и тд) / метрических (/ топологических / proximity spaces). В итоге все вообще суть частный случай множеств, которые в свою очередь -- частный случай языка первого порядка (боюсь тут ошибиться).
Как отделять зерна от плевел?

[EminentVictorians]

KregSeptim, это все понятно, но речь не об этом. Мы не стремимся максимизировать "общность". Мы стремимся максимизировать сумму "общность + полезность". При переходе от банаховых пространств к просто нормированным мы получаем чуть-чуть общности и теряем много полезности. Именно поэтому банахово пространство - стоящая абстракция.

[vicvolf]

EminentVictorians в сообщении #1560646 писал(а):

KregSeptim, это все понятно, но речь не об этом. Мы не стремимся максимизировать "общность". Мы стремимся максимизировать сумму "общность + полезность". При переходе от банаховых пространств к просто нормированным мы получаем чуть-чуть общности и теряем много полезности. Именно поэтому банахово пространство - стоящая абстракция.

Функция полезности зависит от субьекта. Это уже не математика, а философия.

[KregSeptim]

EminentVictorians
Если подходить к этому по-категорному, то сначала надо зафиксировать теорию (i.e. совокупность категорий). Тогда в универсуме этой теории среди прочих стрелок выделятся универсальные, которые будут отражать фундаментальные понятия этой теории. Вот их изучение имеет объективный математический интерес. Иначе я не знаю как формализовать понятие математической интересности. Но если идти так, то все эр и прочее становятся интересными в зависимости от контекста. Так, в анализе эр интересно потому, что в его универсуме это универсальный объект — терминальное архимедово поле.