Теорема вращения Эйлера

[Middle]

Теорема вращения Эйлера утверждает, что любое движение твёрдого тела в трёхмерном пространстве, имеющее неподвижную точку, является вращением тела вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку.
Доказательство из книги Маркеева "Теоретическая механика"
"Заметим, что теорема Эйлера эквивалентна тому, что у матрицы поворота $A$ есть собственное значение $+1$. Соотвествующий собственный вектор $r$ задает ось вращения. Действительно, т.к. $r=Ar$, то собственный вектор задает ось вращения"
Дальше автор доказывает существование собственного значения $+1$.
Но мне непонятно утверждение:
"Собственный вектор задает ось вращения"
Почему если такой вектор существует, то тело в какой-то момент времени вращается(именно вращается) вокруг него, т.е. почему он является осью вращения, а не просто собственным вектором с собственным значением $+1$

[lel0lel]

Middle в сообщении #1560253 писал(а):

"Собственный вектор задает ось вращения"

Применяя матрицу поворота к любому вектору, который коллинеарен собственному, будем получать этот же самый вектор. Это значит, что множество точек лежащих на прямой, проходящей через неподвижную точку в направлении собственного вектора с собственным значением $1$, будут неподвижными. То есть, это ось вращения.

[svv]

Middle в сообщении #1560253 писал(а):

Почему если такой вектор существует, то тело в какой-то момент времени вращается(именно вращается) вокруг него

Не в какой-то момент.
Имеется начальное и конечное положение твёрдого тела с неподвижной точкой. Известно, что тело двигалось из начального в конечное положение непрерывно (но как именно — не имеет значения). Тогда существует такой вектор $\mathbf p$ и такое число $\alpha$, что поворот на угол $\alpha$ вокруг оси, проходящей через неподвижную точку параллельно $\mathbf p$, переведёт тело из начального положения в конечное.
Т.е. как бы сложно ни двигалось тело, конечное положение можно получить из начального одним простым поворотом.

[Middle]

lel0lel в сообщении #1560263 писал(а):

Middle в сообщении #1560253 писал(а):

"Собственный вектор задает ось вращения"

Применяя матрицу поворота к любому вектору, который коллинеарен собственному, будем получать этот же самый вектор. Это значит, что множество точек лежащих на прямой, проходящей через неподвижную точку в направлении собственного вектора с собственным значением $1$, будут неподвижными. То есть, это ось вращения.

В том-же учебнике дано определение вращения:
"Перемещение твердого тела, при котором его конечное положение получается из начального путем поворота вокруг неподвижной прямой, называется вращением(вокруг этой прямой), а сама неподвижная прямая называется осью вращения". Разве это работает в обратную сторону? Почему эта прямая проходящая через неподвижную точку и коллинеарная собственному вектору является осью вращения? Потому-что она неподвижна? Вроде из неподвижности некоторой прямой не исходит, что тело вращается вокруг этой прямой.

[lel0lel]

Middle в сообщении #1560270 писал(а):

Вроде из неподвижности некоторой прямой не исходит, что тело вращается вокруг этой прямой.

Это верно. Следует, что тело либо вращается вокруг этой прямой, либо неподвижно. Осталась ведь одна степень свободы -- вращательная.

[Middle]

lel0lel в сообщении #1560271 писал(а):

Middle в сообщении #1560270 писал(а):

Вроде из неподвижности некоторой прямой не исходит, что тело вращается вокруг этой прямой.

Это верно. Следует, что тело либо вращается вокруг этой прямой, либо неподвижно. Осталась ведь одна степень свободы -- вращательная.

Супер, благодарю за пояснение

[lel0lel]

На всякий случай уточню, что число степеней свободы такого тела с неподвижной точкой равно трём.
А теорема о том, что как бы сложно не закрутили тело, а затем остановили, всегда найдётся прямая, проходящая через неподвижную точку, одним поворотом относительно которой тело можно перевести в исходное положение.

[DxHater]

lel0lel в сообщении #1560263 писал(а):

Middle в сообщении #1560253 писал(а):

"Собственный вектор задает ось вращения"

Применяя матрицу поворота к любому вектору, который коллинеарен собственному, будем получать этот же самый вектор. Это значит, что множество точек лежащих на прямой, проходящей через неподвижную точку в направлении собственного вектора с собственным значением $1$, будут неподвижными. То есть, это ось вращения.

А если взять некоторый конус, закрепить его острие и начать его вращать вправо/влево. Тогда очевидно, что он будет вращаться вокруг некоторой прямой, перпендикулярной к вам, и последняя будет проходить только через одну точку тела.
Просто в док-ве предполагается, что этот вектор $r$, который задает ось, уже связывает некоторую точку тела P и неподвижную точку O, и к нему мы применяем матрицу преобразования.
Но а первом примере очевидно, что этой второй точки P не существует.

[lel0lel]

DxHater в сообщении #1560311 писал(а):

Но а первом примере очевидно, что этой второй точки P не существует

Да, в этом случае эти неподвижные относительно полного перемещения тела точки не принадлежат телу. Но любое движение можно рассматривать как преобразование системы координат, поэтому ничего страшного если эти неподвижные точки являются просто точками пространства. Не уверен правда называют ли их в этом случае неподвижными точками.

Вообще, любое тело можно дополнить до шара с центром в неподвижной точке $O$. То есть, придать ему форму шара, нарастив, если надо, недостающую часть (для мысленной наглядности её можно сделать прозрачной). Тогда теорема эквивалентна следующему утверждению: какое бы движение мы не совершили с шаром с неподвижным центром, всегда найдётся прямая, проходящая через его центр, которая в результате этого движения не изменила своего положения. Эта прямая называется осью конечного поворота.

[sergey zhukov]

lel0lel
Похоже на теорему Брауэра о неподвижной точке, примененную к поверхности этой мысленной сферы: как ни поворачивай сферу вокруг ее центра, какая-то точка ее поверхности всегда будет совпадать сама с собой до и после поворота.

[lel0lel]

sergey zhukov
Только в нашем случае все преобразования связаны с группой вращения, а теорема Брауэра, указано, что для любых непрерывных отображений.