Вычисление интеграла с многочленом Лежандра

[van341]

Подскажите, пожалуйста, не встречалось ли кому правило вычисления интеграла $\int\limits_1^x\frac{P_n(z)}{t-z}dz$, где $P_n(z)$ -- многочлен лежандра первого рода. (Частный случай -- известная формула Неймана $Q_n(t)=\int\limits_{-1}^1\frac{P_n(z)}{t-z}dz$, где $Q_n(t)$ -- многочлен Лежандра второго рода).

[novichok2018]

Лежандр - он памятник, с большой буквы, исправьте пожалуйста.
А в стандартных справочниках смотрели?

[van341]

novichok2018 в сообщении #1559453 писал(а):

Лежандр - он памятник, с большой буквы, исправьте пожалуйста.

Согласен, но, к сожалению, правка уже недоступна (там и в определении $Q_n$ ошибка ... нет $1/2$).
В справочниках смотрел и ничего не нашел. У Гобсона (Теория сферических и эллипсоидальных функций. 1952) на стр. 117, 118 рассматривается подобный интеграл, но что-то не то...
Используя результаты леммы 1 из статьи (doi.org/10.35634/vm220108), получил:
$\int\limits_1^b\frac{P_n(z)}{x-z}dz=-2Q_n(x)+2\sum\limits_{m=0}^n(2m+1)\sum\limits_{\mu=1}^{m+1}\frac{[P_n^{(-\mu)}(-1)-(-1)^{\mu}P_n^{(-\mu)}(b)](m+\mu-1)!}{(b+1)^{\mu}(\mu-1)!(m+1-\mu)!}Q_m\left(2\frac{x+1}{b+1}-1\right)$. Осталось сумму по $\mu$ упростить.

[svv]

Не знаю, поможет ли реально следующая идея.
$-\int\frac{P_n(z)}{t-z}dz=P_n(t)\int\frac{dz}{z-t}+\int\frac{P_n(z)-P_n(t)}{z-t}dz$
$P_n(z)-P_n(t)$ делится на $z-t$ без остатка, при фиксированном $t$ получается полином степени $n-1$ от $z$. Остаётся найти его коэффициенты, зависящие от $t$. Это уже чисто алгебраическая задача.

[van341]

svv, спасибо! Я думал над подобным вариантом решения. Он схож с тем, как я получил указанное выше соотношение.... и как всегда допустил описку . Правильно:

$\int\limits_1^b\frac{P_n(z)}{x-z}dz=-2Q_n(x)+2\sum\limits_{m=0}^n(2m+1)\sum\limits_{\mu=0}^{m}\frac{\left[(-1)^{n+1}P_n^{(-\mu-1)}(-1)-(-1)^{\mu+1}P_n^{(-\mu-1)}(b)\right](m+\mu)!}{(b+1)^{\mu+1}\mu!(m-\mu)!}Q_m\left(2\frac{x+1}{b+1}-1\right)$.

[svv]

Этот способ должен дать более простой результат.

В интеграле $\int\limits_a^b\frac{dz}{z-t}$ нужно только следить, принадлежит $t$ отрезку $[a,b]$ или нет.

В интеграл $\int\frac{P_n(z)-P_n(t)}{z-t}dz$ подставьте разложение $P_n(x)=\sum\limits_{k=0}^n c_{n,k} x^k$. Явный вид коэффициентов здесь.
Получится $\sum\limits_{k=0}^n c_{n,k} \int \frac{z^k-t^k}{z-t}dz$
Деление не даёт остатка:
$\frac{z^k-t^k}{z-t}=\sum\limits_{j=0}^{k-1} t^{k-1-j} z^j$

[mihiv]

Если нужно только значение интеграла для конкретных $x,t$, то, может быть, проще использовать рекуррентную формулу.
Обозначим $R_n(x,t)=\int \limits _1^x\dfrac {P_n(z)dz}{t-z}$. Из рек. формулы для $P_n(z)$ после деления на $t-z$ получим рек. формулу для $R_n:R_{n+1}=-\dfrac {2n+1}{n+1}R_n-\dfrac n{n+1}R_{n-1}+\dfrac t{n+1}\int \limits _1^xP_n(z)dz.$

[van341]

mihiv, записанная Вами формула неверна.
Например для $n=1$:
$R_{n-1}=\ln\left(\frac{1-t}{x-t}\right)$;
$R_{n}=t\ln\left(\frac{1-t}{x-t}\right)-x+1$;
$\int\limits_1^xP_n(z)dz=\frac{x^2-1}{2}$.
Из этих результатов по Вашей рек. формуле $R_{n+1}=-\frac{1}{2}\left(3t+1\right)\ln\left(\frac{1-t}{x-t}\right)+\frac{1}{4}(x-1)(t+xt+6)$, а
$\int\limits_1^x\frac{P_2(z)}{t-z}dz=\frac{1}{2}\left(3t^2-1\right)\ln\left(\frac{1-t}{x-t}\right)-\frac{3}{4}(x-1)(x+2t+1)$.
Но за идею спасибо. Правильный вариант:
$R_{n+1}=\frac{2n+1}{n+1}tR_{n}-\frac{n}{n+1}R_{n-1}-\frac{2n+1}{n+1}\int\limits_{1}^xP_n\left(z\right)dz$.

[mihiv]

van341
Вы правы, должно быть:$R_{n+1}=\dfrac {(2n+1)t}{n+1}R_n-\dfrac n{n+1}R_{n-1}-\dfrac {2n+1}{n+1}\int \limits _1^xP_ndx$

[mihiv]

Кстати: $\int \limits _1^xP_n(z)dz=\dfrac 1{2n+1}(P_{n+1}(x)-P_{n-1}(x))$