Лежандр - он памятник, с большой буквы, исправьте пожалуйста.
Согласен, но, к сожалению, правка уже недоступна (там и в определении

ошибка

... нет

).
В справочниках смотрел и ничего не нашел. У Гобсона (Теория сферических и эллипсоидальных функций. 1952) на стр. 117, 118 рассматривается подобный интеграл, но что-то не то...
Используя результаты леммы 1 из статьи (doi.org/10.35634/vm220108), получил:
!}{(b+1)^{\mu}(\mu-1)!(m+1-\mu)!}Q_m\left(2\frac{x+1}{b+1}-1\right)$ $\int\limits_1^b\frac{P_n(z)}{x-z}dz=-2Q_n(x)+2\sum\limits_{m=0}^n(2m+1)\sum\limits_{\mu=1}^{m+1}\frac{[P_n^{(-\mu)}(-1)-(-1)^{\mu}P_n^{(-\mu)}(b)](m+\mu-1)!}{(b+1)^{\mu}(\mu-1)!(m+1-\mu)!}Q_m\left(2\frac{x+1}{b+1}-1\right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/e/33ec593905bf2354f8ea21ac967be38c82.png)
. Осталось сумму по

упростить.