Зачем нужна равномерная непрерывность функции

[KirBirMir]

Всем привет!
Подскажите, пожалуйста, зачем вводится понятие равномерной непрерывности? Если я все правильно понял, равномерная непрерывность функции - это когда между приращением аргумента и получающимся приращением функции существует какая-то зависимость.
Какой практический смысл от этого понятия?
Допустим мы знаем, что функция равномерно непрерывна или наоборот неравномерно непрерывна. Ок, что дальше?
Возможно это где-т применятся в других областях анализа?

[Otta]

Пример 1 на 1 странице здесь почитайте. Очень практический.

KirBirMir в сообщении #1557456 писал(а):

Если я все правильно понял, равномерная непрерывность функции - это когда между приращением аргумента и получающимся приращением функции существует какая-то зависимость.

Она всегда существует, если только функция не постоянна.
Посмотрите в этой методичке картинки, сопровождающие определения. И такие же в англовики.

[Padawan]

KirBirMir в сообщении #1557456 писал(а):

Допустим мы знаем, что функция равномерно непрерывна или наоборот неравномерно непрерывна. Ок, что дальше?
Возможно это где-т применятся в других областях анализа?

Да, свойство равномерной непрерывности постоянно используется при доказательстве теорем анализа. Суть в том, что часто надо оценить разность $|f(x')-f(x'')|$, когда конкретные значения $x'$ и $x''$ нам не известны, но известно, что $|x'-x''|$ -- маленькое число. Тогда и $|f(x')-f(x'')|$ будет маленьким.

[ozheredov]

ИМХО (Otta, Padawan бейте сразу ногами, если напишу чушь), равномерная непрерывность нужна на неограниченных множествах, потому что на ограниченном она получается из обычной непрерывности автоматом. Область применения: численные методы, в которых надо получить гарантию того, что то, что рядом, способно отличаться от того, что прямо здесь, не более чем... надо получить верхнюю оценку этого "не более чем" для всего неограниченного множества.

[EminentVictorians]

ozheredov в сообщении #1557478 писал(а):

равномерная непрерывность нужна на неограниченных множествах

На интервале непрерывная функция тоже может не быть равномерно непрерывной. Но будет, если и только если у нее конечные пределы на конца интервала.

[пианист]

KirBirMir в сообщении #1557456 писал(а):

Возможно это где-т применятся в других областях анализа?

Сходное понятие равностепенной непрерывности (когда $\delta(\varepsilon)$ общая не только по области определения, но и по совокупности функций) используется для изучения этих самых совокупностей функций (решений диффура, например).

[mihaild]

ozheredov в сообщении #1557478 писал(а):

потому что на ограниченном она получается из обычной непрерывности автоматом

Не на ограниченном, а на компактном.

[ozheredov]

mihaild в сообщении #1557518 писал(а):

Не на ограниченном, а на компактном.

Компактное это которое границу свою содержит?

[mihaild]

ozheredov в сообщении #1557519 писал(а):

Компактное это которое границу свою содержит?

Компактное - это когда из любого покрытия открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие. Для $\mathbb R^n$ - эквивалентно замкнутности и ограниченности (а замкнутость всегда эквивалентна содержанию границы, да).

[KirBirMir]

Otta в сообщении #1557461 писал(а):

Пример 1 на 1 странице здесь почитайте. Очень практический.

Крутая методичка, спасибо. А есть такие же по остальным темам мат. анализа?

[Flood]

KirBirMir
Возможно, тут уже ссылались, но понятие равномерной непрерывности функции используется, в том числе в связи с определенным интегралом. Например, доказательстве интегрируемости непрерывной функции.

Что касается других тем, то можно отсюда пойти по ссылкам: http://math.phys.msu.ru/Education/General_courses/show_page

[Walker_XXI]

KirBirMir в сообщении #1557456 писал(а):

Допустим мы знаем, что функция равномерно непрерывна или наоборот неравномерно непрерывна. Ок, что дальше?

Otta в сообщении #1557461 писал(а):

Пример 1 на 1 странице здесь
почитайте. Очень практический.

Если уж совсем простыми и грубыми словами. На практике между измеряемыми параметрами (физическими величинами) всегда имеется какая-то функциональная зависимость. Если функция, [приближённо] описывающая эту зависимость, является равномерно непрерывной, то на практике мы можем ограничиться какой-то вполне определённой приемлемой точностью измерений. И это даст нам тоже вполне определённую точность рассчитываемых величин: небольшое отклонение измеренного значения от истинного даёт нам приемлемое и поддающееся оценке отклонение расчётов от истинных параметров. Если же функция не обладает равномерной непрерывностью, то сколь угодно малое изменение исходных параметров (ошибка в измерениях) может привести к сколь угодно большому изменению расчётных значений. Мы никогда не сможем сказать, что точность измерений у нас приемлемая, а ошибка расчётов мала или хотя бы лежит в конкретном небольшом интервале.

[KirBirMir]

Цитата:

Если уж совсем простыми и грубыми словами. На практике между измеряемыми параметрами (физическими величинами) всегда имеется какая-то функциональная зависимость. Если функция, [приближённо] описывающая эту зависимость, является равномерно непрерывной, то на практике мы можем ограничиться какой-то вполне определённой приемлемой точностью измерений. И это даст нам тоже вполне определённую точность рассчитываемых величин: небольшое отклонение измеренного значения от истинного даёт нам приемлемое и поддающееся оценке отклонение расчётов от истинных параметров. Если же функция не обладает равномерной непрерывностью, то сколь угодно малое изменение исходных параметров (ошибка в измерениях) может привести к сколь угодно большому изменению расчётных значений. Мы никогда не сможем сказать, что точность измерений у нас приемлемая, а ошибка расчётов мала или хотя бы лежит в конкретном небольшом интервале.

Спасибо, очень понятный пример.