Существование бинарных посл.-тей

[kthxbye]

Пусть $b(n)$ - это бинарная последовательность A003849. Пусть также

$$c(n,m)=\begin{cases} 1,&\text{если $b(n)=m$;}\\ 0,&\text{в противном случае.} \end{cases}$$

Кроме того,

$$d(n,m)=d(n-1,m)+c(n,m), d(0,m)=c(0,m), d(1,m)=c(1,m)$$

Тогда мы можем задать последовательность

$$e(n)=c(n,0)d(n,0)+c(n,1)d(n,1)$$

Здесь $e(n)$ - это A193564 (только у $e(n)$ отсчет начинается с $n=0$). Эта функция вместо $k$-того нуля в последовательности $b(n)$ возвращает $k-1$ (аналогично для единицы).

И наконец

$$a(n)=a(e(n))2^{b(n)+1}+b(n), a(0)=0$$

Здесь $a(n)$ - это A003714.

Существуют ли иные бинарные последовательности $b_k(n)$, такие, что результирующая последовательность $a(n)$ - возрастающая (т.е. такая, что $a(n)>a(n-1)$ при любом $n>0$)? Или же $b(n)$ единственная в своем роде? Если да, то как это можно доказать?